Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2+1,y=0,x=-2,x=1

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1, y=0, x=-2, x=1, нужно сначала найти точки пересечения этих линий. Это можно сделать, решая системы уравнений:

y=x^2+1 и y=0

x^2+1=0

x^2=-1

x=±i

Эти точки не принадлежат действительной оси, поэтому фигура не имеет нижней границы.

y=x^2+1 и x=-2

y=(-2)^2+1

y=5

Точка пересечения (-2, 5).

y=x^2+1 и x=1

y=(1)^2+1

y=2

Точка пересечения (1, 2).

Затем нужно построить графики этих линий и определить область интегрирования. Это будет криволинейная трапеция, ограниченная параболой y=x^2+1 сверху и прямыми x=-2 и x=1 по бокам. См. рисунок.

Площадь фигуры равна разности площадей под графиками функций на заданном отрезке [a, b]:

S=∫_a^b f(x)dx-∫_a^b g(x)dx

В нашем случае f(x)=x^2+1, g(x)=0, a=-2, b=1. Поэтому:

S=∫_-2^1 (x^2+1)dx-∫_-2^1 0dx

S=(x^3/3+x)|_-2^1-0

S=((1^3/3+1)-((-2)^3/3-2))-0

S=(4/3+1)-(4/3-2)

S=7/3-(-2/3)

S=9/3

S=3

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1, y=0, x=-2, x=1, равна 3.