Question

Решить систему дифференциальных уравнений: x'=4x+12y y'=x+8y+5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

продифференцируем второе уравнение:

y'' = x' + 8y'

выразим x из второго:

x = y' - 8y - 5

x' = 4(y' - 8y - 5) + 12y = 4y' - 20y - 20

y'' = 4y' - 20y - 20 + 8y'

y'' - 4y' + 20y = -20

частное неоднородное решение: y = -1

t² - 4t + 20 = 0

t₁ = 10; t₂ = 2

y = Ae¹⁰ⁿ + Be²ⁿ - 1

x = y'  - 8y - 5 = 2Ae¹⁰ⁿ - 6Be²ⁿ + 3

x(n) и y(n) - обычно пишут от t, но в наборе формул нет t, можете в своем решении просто заменить n на t

Answer 2

Для решения данной системы дифференциальных уравнений, мы можем использовать методы линейной алгебры или методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В данном случае, я расскажу о методе матричной экспоненты, который является одним из способов решения линейных систем дифференциальных уравнений.

Для начала, перепишем данную систему в матричной форме:

x' = 4x + 12y y' = x + 8y + 5

Мы можем представить данную систему в виде матричного уравнения X' = AX + B, где X - это вектор-столбец переменных x и y, A - это матрица коэффициентов при переменных, и B - это вектор-столбец свободных членов.

В данном случае, матрица коэффициентов будет выглядеть следующим образом:

**A = [4 12] [1 8]**

А вектор-столбец свободных членов будет:

**B = [0] [5]**

Теперь, мы можем найти матрицу экспоненты e^(At), где t - это независимая переменная времени. Матрица экспоненты может быть найдена с использованием формулы:

e^(At) = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ...

где I - это единичная матрица того же размера, что и A.

Матрица экспоненты e^(At) позволяет нам найти решение системы дифференциальных уравнений в виде:

X(t) = e^(At) * X(0) + e^(At) * ∫(t0 to t) e^(-As) * B ds

где X(t) - это вектор-столбец решения системы, X(0) - это вектор-столбец начальных условий, ∫ - это интеграл, t0 - это начальный момент времени.

Вычисление матрицы экспоненты e^(At) может быть сложной задачей, но в данном случае мы можем воспользоваться формулой для матрицы 2x2:

**e^(At) = (e^(λ1t) 0) (0 e^(λ2t))**

где λ1 и λ2 - это собственные значения матрицы A.

Для нахождения собственных значений, мы можем решить характеристическое уравнение:

det(A - λI) = 0

где I - это единичная матрица. В данном случае, это уравнение будет выглядеть следующим образом:

(4-λ)(8-λ) - (1)(12) = 0

Решая данное уравнение, мы найдем два собственных значения: λ1 = 6 и λ2 = 2.

Теперь, мы можем вычислить матрицу экспоненты e^(At):

**e^(At) = (e^(6t) 0) (0 e^(2t))**

Теперь, если у нас есть начальные условия X(0), мы можем найти решение системы дифференциальных уравнений X(t), используя формулу:

X(t) = e^(At) * X(0) + e^(At) * ∫(t0 to t) e^(-As) * B ds

где B в данном случае равно [0, 5].

Я надеюсь, что эта подробная информация помогла вам понять, как решить данную систему дифференциальных уравнений. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!