Question

Найти экстремум функции у=x^3+3x^2-2 ( математика для 10-11 классов)

Answer 1

Решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения экстремума функции у = x^3 + 3x^2 - 2, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Эти точки будут являться кандидатами на экстремумы.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции у = x^3 + 3x^2 - 2. Производная функции показывает нам, как меняется функция по мере изменения значения переменной x.

Производная функции у = x^3 + 3x^2 - 2 равна: у' = 3x^2 + 6x

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение: 3x^2 + 6x = 0

Факторизуем это уравнение: 3x(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = -2.

Проверка типа экстремума

Чтобы определить тип экстремума в каждой из найденных точек, мы можем использовать вторую производную.

Возьмем вторую производную функции у = x^3 + 3x^2 - 2: у'' = 6x + 6

Подставим найденные значения x = 0 и x = -2 в у'' и получим: у''(0) = 6(0) + 6 = 6 у''(-2) = 6(-2) + 6 = -6

Вывод

Таким образом, мы нашли две точки, где производная функции равна нулю: x = 0 и x = -2. Подставив эти значения во вторую производную, мы увидели, что у''(0) > 0, что означает, что x = 0 является точкой минимума, а у''(-2) < 0, что означает, что x = -2 является точкой максимума.

Ответ: Точка минимума функции у = x^3 + 3x^2 - 2 находится при x = 0, а точка максимума - при x = -2.