Question

4sin^2x+cos^2x-3sin2x=0

Answer 1

4sin^2(x)+2cos^2(x)-3sin(2x)=0
2tg^2(x)-3tg(x)+1=0-->tg(x)=1;tg(x)=1/2-->x=тт/4+ттk;x=arctg(1/2)+ттk,k-целое

Answer 2

Конечно, рассмотрим уравнение подробно. У нас есть уравнение:

\[4\sin^2x + \cos^2x - 3\sin2x = 0.\]

Давайте разберемся с уравнением по шагам.

1. Преобразование уравнения:

Используем тригонометрические тождества для приведения выражений:

Известно, что \(\sin2x = 2\sin x \cos x\) и \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\). Также, можно заменить \(\cos^2x\) на \(1 - \sin^2x\) в исходном уравнении:

\[4\sin^2x + (1 - \sin^2x) - 3(2\sin x \cos x) = 0.\]

2. Перепишем уравнение:

Теперь у нас есть уравнение только с угловой функцией \(\sin x\) и произведением \(\sin x \cos x\):

\[4\sin^2x + 1 - \sin^2x - 6\sin x \cos x = 0.\]

3. Упростим выражение:

Сгруппируем члены с \(\sin^2x\) вместе и оставим только одно уравнение с \(\sin x\) и \(\cos x\):

\[3\sin^2x - 6\sin x \cos x + 1 = 0.\]

4. Решение уравнения:

Теперь мы можем рассматривать это уравнение как квадратное относительно \(\sin x\). Обозначим \(\sin x\) как \(u\):

\[3u^2 - 6u + 1 = 0.\]

Для нахождения \(u\) (или \(\sin x\)) воспользуемся квадратным уравнением или дискриминантом:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24.\]

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6}.\]

\[u = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6}.\]

Из этого следует, что \(\sin x = 1\) или \(\sin x = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3}\) или \(\sin x = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3}\).

5. Решение для \(x\):

Угол \(x\) соответствует значению \(\sin x\), поэтому:

\(\sin x = 1\) соответствует \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\).

\(\sin x = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3}\) не имеет простых значений углов, поэтому нужно использовать численные методы для нахождения \(x\).

\(\sin x = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3}\) также не имеет простых значений углов, поэтому требуется численное решение.

Таким образом, корни уравнения для \(x\) будут состоять из всех углов, удовлетворяющих условиям выше.