Question

Середины последовательных сторон прямоугольника, диагонали которого равны 10, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника

Answer 1

10/2=5
a=b=5
p=20
не знаю точно вроде так

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\), где \(a\) - это меньшая сторона, и \(b\) - большая сторона. У нас есть две диагонали, и мы знаем, что они равны 10:

1. \(a^2 + b^2 = 10^2\) (теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагоналями).

2. Также мы знаем, что диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Поскольку мы соединили середины последовательных сторон, это деление прямоугольника происходит по диагоналям, и мы получаем четыре подобных треугольника.

Это означает, что соотношение длин сторон этих треугольников равно отношению сторон прямоугольника. Таким образом, мы можем записать:

3. \(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\) (отношение сторон треугольника, образованного диагональю).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

1. \(a^2 + b^2 = 100\) 2. \(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\)

Решим эту систему уравнений. Умножим второе уравнение на \(b\) и подставим это значение в первое уравнение:

\[ a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 100 \]

Упростим:

\[ a^2 + \frac{a^2}{4} = 100 \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 4a^2 + a^2 = 400 \]

\[ 5a^2 = 400 \]

\[ a^2 = 80 \]

Теперь найдем \(b\):

\[ b = 2a = 2 \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны \(a = \sqrt{80}\) и \(b = 4\sqrt{5}\).

Теперь мы можем найти периметр четырехугольника, который образуется этим прямоугольником:

\[ P = 2a + 2b = 2\sqrt{80} + 2(4\sqrt{5}) = 2\sqrt{80} + 8\sqrt{5} \]

Так что периметр четырехугольника равен \(2\sqrt{80} + 8\sqrt{5}\).