Question

Как решить систему уравнений? X+2y-7=8 3x+5y+2z=7 x-3y+z=-8

Answer 1

{x+2y-7=8   ⇒x=-2y+15;подставляем во 2-е и 3-е уравнения:⇒
{3x+5y+2z=7   ⇒3(-2y+15)+5y+2z=7;⇒-6y+45+5y+2z=7⇒-y+2z=-38;
{x-3y+z=-8  ⇒-2y+15-3y+z=-8;⇒-5y+z=-23;
y=38-2z;
-5(38-2z)+z=-23;⇒11z=-23+190=167;⇒
z=167/11=15²/₁₁;
y=38-2·15²/₁₁=38-30⁴/₁₁=7⁷/₁₁;
x=(-2)·7⁷/₁₁+15=-15³/₁₁+15=-³/₁₁;

Answer 2

Чтобы решить данную систему уравнений, можно использовать методы линейной алгебры, такие как метод замены, метод сложения или метод матриц.

Метод замены

1. Начнем с первого уравнения: X + 2y - 7 = 8. Решим его относительно X: X = 8 - 2y + 7 = -2y + 15.

2. Подставим полученное значение X во второе уравнение: 3(-2y + 15) + 5y + 2z = 7. Упростим уравнение: -6y + 45 + 5y + 2z = 7. Перегруппируем слагаемые и упростим: -y + 2z = -38.

3. Подставим значение X из первого уравнения в третье уравнение: (-2y + 15) - 3y + z = -8. Упростим уравнение: -5y + z = -23.

Таким образом, мы получили систему двух уравнений: - y - 2z = 38 (уравнение из пункта 2) - 5y - z = 23 (уравнение из пункта 3)

Мы можем решить эту систему методом сложения или методом матриц.

Метод сложения

1. Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на 1, чтобы коэффициенты при y сравнялись: 5(y - 2z) = 5(38) => 5y - 10z = 190 1(5y - z) = 1(23) => 5y - z = 23

2. Вычтем второе уравнение из первого: (5y - 10z) - (5y - z) = 190 - 23 -9z = 167 z = -167/9

3. Подставим значение z в одно из исходных уравнений, например, во второе: 5y - (-167/9) = 23 5y + 167/9 = 23 5y = 23 - 167/9 5y = 207/9 - 167/9 5y = 40/9 y = (40/9) / 5 y = 8/9

4. Подставим полученные значения y и z в одно из исходных уравнений, например, в первое: X + 2(8/9) - 7 = 8 X + 16/9 - 63/9 = 8 X - 47/9 = 8 X = 8 + 47/9 X = 71/9

Таким образом, решение данной системы уравнений: X = 71/9, y = 8/9, z = -167/9.

Метод матриц

1. Запишем коэффициенты перед неизвестными в матрицу коэффициентов: | 1 2 -1 | | 3 5 2 | | 1 -3 1 |

2. Запишем столбец свободных членов в матрицу свободных членов: | 7 | | 7 | | -8 |

3. Найдем определитель матрицы коэффициентов: det(A) = 1(5*1 - (-3*2)) - 2(3*1 - (-3*2)) + (-1)(3*(-3) - (5*1)) = 1(5 + 6) - 2(3 + 6) + (-1)(-9 - 5) = 11 - 18 + 14 = 7

4. Найдем матрицу алгебраических дополнений: | 17 -13 17 | | -5 3 -5 | | -2 2 -2 |

5. Найдем матрицу кофакторов: | 17 -13 17 | | -5 3 -5 | | -2 2 -2 | --------------- | 17 -13 17 | | 5 -3 5 | | -2 2 -2 |

6. Транспонируем матрицу кофакторов: | 17 5 -2 | | -13 -3 2 | | 17 5 -2 |

7. Найдем обратную матрицу: A^-1 = (1/det(A)) * (транспонированная матрица кофакторов) = (1/7) * | 17 5 -2 | | -13 -3 2 | | 17 5 -2 |

8. Умножим обратную матрицу на матрицу свободных членов: A^-1 * B = (1/7) * | 17 5 -2 | * | 7 | | 7 | | -8 | = (1/7) * | (17*7 + 5*7 + (-2)*(-8)) | | (-13*7 + (-3)*7 + 2*(-8)) | | (17*7 + 5*7 + (-2)*(-8)) | = (1/7) * | 71 | | 23 | | -41 | = | 71/9 | | 23/9 | | -41/9 |

Таким образом, решение данной системы уравнений: X = 71/9, y = 23/9, z = -41/9.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам разобраться в решении системы уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.