Question

Найти предел функции

Answer 1

Разделим числитель и знаменатель на x²

(1/x+5/x²)/(1-1/x²)

Предел числителя при x, стремящемся к бесконечности равен 0, а предел знаменателя - 1

Таким образом, предел нашего выражения при x стремящемся к бесконечности равен 0

Answer 2

Конечный предел функции - это значение, к которому стремится функция, когда независимая переменная приближается к определённой точке или бесконечности. Предел функции обычно обозначается символом lim и записывается как lim f(x) при x → a, где "a" может быть числом или бесконечностью.

Чтобы найти предел функции, нужно проанализировать поведение функции в окрестности точки, к которой стремится независимая переменная. Наиболее часто используемые методы для нахождения пределов функций включают:

1. Подстановка прямого значения: Если функция определена в точке, к которой стремится переменная, можно попробовать просто подставить это значение в функцию и узнать, существует ли конечный результат. Например, если нужно найти lim x^2 при x → 3, подставив x = 3 в функцию, получим 3^2 = 9.

2. Арифметические свойства пределов: Для элементарных функций (полиномы, рациональные функции, тригонометрические функции и т. д.) существуют стандартные правила, которые позволяют находить пределы более сложных выражений путем разложения на более простые части и использования свойств пределов.

3. Использование предельных теорем: Некоторые функции могут быть сложными, и для их пределов используются специальные теоремы, такие как теорема о пределе композиции функций, теорема о пределе монотонной функции и другие.

4. Использование графиков или таблиц: Для некоторых функций может быть полезно построить график или составить таблицу значений, чтобы приблизительно определить поведение функции в окрестности точки, к которой стремится переменная.

Например, если у нас есть функция f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1), и нужно найти lim f(x) при x → 1, мы можем упростить выражение (x^2 - 1) / (x - 1) до x + 1 при x ≠ 1. Однако, при x = 1, функция неопределена из-за деления на ноль. Используя пределы, можно увидеть, что lim f(x) при x → 1 равен 2.

В некоторых случаях, предел может не существовать или быть бесконечным, например, lim x → 0 для функции 1/x.

Если у вас есть конкретная функция, для которой нужно найти предел, уточните её, и я помогу вам рассчитать предел или объяснить шаги для его нахождения.