Question

Надо найти производную функции. y=X^2*tgx

Answer 1

Y=x² tgx
y' = (x²)' tgx + x² (tgx)' = 2x tgx +    x²    =  2x sinx  +    x²   =
                                                 cos²x          cosx      cos²x
   = 2x sinx cosx + x²  =  x sin2x + x²  
                cos²x                    cos²x

Answer 2

Для нахождения производной функции y = x^2 * tg(x), мы будем использовать правило производной произведения двух функций.

Для начала, давайте выразим функцию tg(x) через синус и косинус: tg(x) = sin(x)/cos(x).

Теперь мы можем выразить функцию y в виде: y = x^2 * (sin(x)/cos(x)).

Далее, мы можем использовать правило производной произведения двух функций. Правило гласит: (d(uv))/(dx) = u * (dv/dx) + v * (du/dx).

Применяя это правило к нашей функции, где u = x^2 и v = sin(x)/cos(x), получаем: (dy)/(dx) = x^2 * (d(sin(x)/cos(x))/(dx)) + (sin(x)/cos(x)) * (d(x^2)/(dx)).

Теперь нам нужно найти производные каждой из составляющих функций.

Производная функции sin(x)/cos(x) может быть найдена с использованием правила деления производных: (d(sin(x)/cos(x))/(dx)) = (cos(x) * d(sin(x))/(dx) - sin(x) * d(cos(x))/(dx))/(cos(x))^2.

Производная функции x^2 равна 2x.

Теперь мы можем объединить все вместе и записать полную производную функции y = x^2 * tg(x): (dy)/(dx) = x^2 * ((cos(x) * d(sin(x))/(dx) - sin(x) * d(cos(x))/(dx))/(cos(x))^2) + (sin(x)/cos(x)) * 2x.

Далее, мы можем упростить это выражение, упрощая производные sin(x) и cos(x) с использованием известных правил.

Например, производная sin(x) равна cos(x), а производная cos(x) равна -sin(x).

Таким образом, мы можем переписать производную функции y следующим образом: (dy)/(dx) = x^2 * ((cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x)))/(cos(x))^2) + (sin(x)/cos(x)) * 2x.

Мы можем продолжить упрощать это выражение, упрощая числитель и знаменатель дроби.

(cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))) = cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Знаменатель (cos(x))^2 также равен 1.

Таким образом, мы можем упростить производную функции y еще больше: (dy)/(dx) = x^2 * (1/1) + (sin(x)/cos(x)) * 2x.

Теперь мы можем упростить дальше, удалив лишнюю 1 в числителе: (dy)/(dx) = x^2 + (sin(x)/cos(x)) * 2x.

Вот и все! Мы нашли производную функции y = x^2 * tg(x).