Question

Cos^2x-cos^4x+sin^4x= и объясните как вы его решали.

Answer 1

cos^2x-(cos^4x-sin^4x)=cos^2x-(cos^2x-sin^2x)(cos^2x+sin^2x)=cos^2x-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-cos^2x+sin^2x=sin^2x

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение подробно:

\[ \cos^2x - \cos^4x + \sin^4x \]

Для решения данного уравнения, давайте воспользуемся формулой для квадрата суммы:

\[ \cos^2x = \cos^4x + \sin^4x - 2\cos^2x\sin^2x \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ \cos^4x + \sin^4x - 2\cos^2x\sin^2x - \cos^4x + \sin^4x \]

Сгруппируем одинаковые члены:

\[ 2\sin^4x - 2\cos^2x\sin^2x \]

Теперь факторизуем выражение:

\[ 2\sin^2x(\sin^2x - \cos^2x) \]

Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\):

\[ 2\sin^2x(1 - 2\cos^2x) \]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить:

\[ 2\sin^2x(1 - 2\cos^2x) = 0 \]

Из этого уравнения видно, что оно равно нулю при \(\sin^2x = 0\) или \(1 - 2\cos^2x = 0\).

1. Когда \(\sin^2x = 0\), это значит, что \(\sin x = 0\). Таким образом, у нас есть корень \(\sin x = 0\), что соответствует значениям \(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\).

2. Когда \(1 - 2\cos^2x = 0\), решим это уравнение относительно \(\cos x\):

\[ 2\cos^2x = 1 \]

\[ \cos^2x = \frac{1}{2} \]

\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два набора решений:

- Когда \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), это соответствует значениям \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \ldots\). - Когда \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), это соответствует значениям \(x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \ldots\).

Таким образом, общее множество решений будет содержать значения \(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\) вместе с углами из двух наборов, описанных выше.