Question

Разложите на множители x^3-x^2-11x+11

Answer 1

X^3 - x^2 - 11x + 11 = x^2(x-1) - 11(x-1) = (x-1)(x^2-11)

Answer 2

Конечно, давайте разложим многочлен \(x^3 - x^2 - 11x + 11\) на множители.

Часто для поиска корней уравнения можно воспользоваться методом подбора, пробуя значения для \(x\) и проверяя, являются ли они корнями уравнения. Однако есть и другие методы.

Для начала, давайте проверим, есть ли рациональные корни этого уравнения, воспользовавшись теоремой о рациональных корнях. Эта теорема гласит, что если у многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень \(\frac{p}{q}\), то \(p\) является делителем свободного члена, а \(q\) — делителем старшего коэффициента.

У нашего уравнения свободный член равен 11, а старший коэффициент равен 1. Таким образом, все рациональные корни этого уравнения будут делителями числа 11.

Теперь мы можем воспользоваться методом подбора или алгоритмом деления многочленов для поиска корней. Один из способов — использовать метод Горнера. Давайте попробуем проверить значение многочлена при \(x = 1\):

\[ \begin{align*} x^3 - x^2 - 11x + 11 &= 1^3 - 1^2 - 11 \cdot 1 + 11 \\ &= 1 - 1 - 11 + 11 \\ &= 0 \end{align*} \]

Таким образом, \(x = 1\) — корень многочлена \(x^3 - x^2 - 11x + 11\). Это означает, что \(x - 1\) является множителем этого многочлена. Теперь мы можем использовать деление многочленов или синтетическое деление, чтобы разложить \(x^3 - x^2 - 11x + 11\) на множители.

Давайте поделим многочлен на \(x - 1\):

\[ x^3 - x^2 - 11x + 11 : (x - 1) \]

\[ \begin{array}{c|ccc} & x^3 & -x^2 & -11x & +11 \\ \hline x-1 & x^3 & -x^2 & & \\ & \downarrow \\ & & 0 & -11x & +11 \\ & & -11x & +11 & \\ & & \downarrow \\ & & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \]

Таким образом, получаем:

\[ (x^3 - x^2 - 11x + 11) = (x - 1)(x^2 - 0x - 11) = (x - 1)(x^2 - 11) \]

Итак, \(x^3 - x^2 - 11x + 11\) раскладывается на множители как \((x - 1)(x^2 - 11)\).

Дальше можем провести дальнейшее разложение \(x^2 - 11\) как \( (x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})\), если рассматривать множество комплексных чисел, или как \((x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})\) в множестве действительных чисел.