Question

Решить дифференциальные уравнение 2yxy’=y^2-1

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int\dfrac{2ydy}{y^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \int\dfrac{d(y^2-1)}{y^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ \ln|y^2-1|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ y^2-1=Cx~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=\pm\sqrt{Cx+1}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[2xy\frac{dy}{dx} = y^2 - 1.\]

Давайте разберемся с этим уравнением. Первым шагом мы можем поделить обе стороны на \(2xy\) для того, чтобы упростить уравнение:

\[\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2xy}.\]

Далее, умножим обе стороны на \(y\) для того, чтобы избавиться от дробей в левой части уравнения:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x} - \frac{1}{2x}.\]

Теперь у нас получилось уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

\[\int \frac{1}{y} \, dy = \int \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{2x}\right) \, dx.\]

Интегрируя, получаем:

\[\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C,\]

где \(C\) — постоянная интегрирования. Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

\[|y| = \sqrt{|x|} e^C.\]

Теперь, учитывая, что \(\pm e^C\) также является константой, перепишем уравнение:

\[y = \pm \sqrt{|x|} e^C.\]

Таким образом, найдено общее решение дифференциального уравнения \(2xy\frac{dy}{dx} = y^2 - 1\).