Question

Срочно пожалуйста.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 7x^3 + 9x^2 - 3x + 6 на отрезке ( -1 : 1 )

Answer 1

$f'(x)=21x^2+18x-3$
$21x^2+18x-3=0$
$7x^2+6x-1=0$
$(x+1)(7x-1)=0$
$x=-1;\\x= \frac{1}{7}$

$f(-1)=7*(-1)^3+9*(-1)^2-3*(-1)+6=-7+9+3+6=11$

$f(\frac{1}{7} )=7*(\frac{1}{7})^3+9*(\frac{1}{7})^2-3*\frac{1}{7}+6= \frac{1}{49} + \frac{9}{49} - \frac{3}{7} + \frac{42}{7} =$
$=\frac{10}{49} - \frac{21}{49} + \frac{294}{49} = \frac{283}{49}$

$f(1)=7*(1)^3+9*(1)^2-3*(1)+6=7+9-3+6=19$

Наибольшее значение функции на отрезке [-1;1] - f(1)=19
Наименьшее значение функции на отрезке [-1;1] - f(1/7)=283/49

Answer 2

Решение

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 7x^3 + 9x^2 - 3x + 6 на отрезке [-1, 1], мы можем использовать процесс определения экстремумов функции.

1. Начнем с нахождения производной функции f'(x). Производная функции показывает нам изменение функции в каждой точке. Для нашей функции f(x) = 7x^3 + 9x^2 - 3x + 6:

f'(x) = 21x^2 + 18x - 3

2. Теперь найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

21x^2 + 18x - 3 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Но в данном случае, чтобы упростить вычисления, воспользуемся методом дискриминанта.

Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.

В нашем случае, a = 21, b = 18 и c = -3. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (18)^2 - 4(21)(-3) = 324 + 252 = 576

Так как дискриминант D положительный (D > 0), у нас есть два действительных корня.

Решим уравнение f'(x) = 0, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (-18 + √576) / (2 * 21) ≈ -0.556 x2 = (-18 - √576) / (2 * 21) ≈ 0.238

Таким образом, у нас есть две критические точки x1 ≈ -0.556 и x2 ≈ 0.238.

3. Теперь найдем значения функции f(x) в критических точках и на концах отрезка [-1, 1]:

f(-1) = 7(-1)^3 + 9(-1)^2 - 3(-1) + 6 = 7 - 9 + 3 + 6 = 7

f(x1) ≈ 7(-0.556)^3 + 9(-0.556)^2 - 3(-0.556) + 6 ≈ 1.599

f(x2) ≈ 7(0.238)^3 + 9(0.238)^2 - 3(0.238) + 6 ≈ 6.365

f(1) = 7(1)^3 + 9(1)^2 - 3(1) + 6 = 7 + 9 - 3 + 6 = 19

4. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1, 1]:

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1, 1] равно минимальному из значений f(-1), f(x1) и f(x2). В данном случае, минимальное значение равно 1.599.

Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1, 1] равно максимальному из значений f(-1), f(x1) и f(x2). В данном случае, максимальное значение равно 19.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1, 1] равно 19, а наименьшее значение равно 1.599.