Question

Укажите наибольшее значение функции y=1-cos3x

Answer 1

Множество значений функции $\tt y=\cos 3x$ равно $\tt [-1;1].$. Оценим в виде двойного неравенства

$\tt -1\leq \cos 3x\leq 1~~|\cdot (-1)\\ \\ -1\leq -\cos 3x\leq 1~~|+1\\ \\ 0\leq 1-\cos 3x\leq 2$

Откуда наибольшее значение заданной функции равно 2.

Answer 2

Функция \( y = 1 - \cos(3x) \) представляет собой тригонометрическую функцию косинуса \( \cos(3x) \), измененную таким образом, что ее значения сдвинуты на единицу вверх.

Для определения наибольшего значения этой функции, давайте сначала разберемся с областью значений \( \cos(3x) \). Функция косинуса имеет диапазон значений от -1 до 1. Таким образом, \( \cos(3x) \) может быть любым числом от -1 до 1.

\( 1 - \cos(3x) \) представляет разницу между 1 и значением \( \cos(3x) \). Таким образом, наибольшее значение этой функции будет достигаться, когда \( \cos(3x) \) будет минимальным (т.е., равным -1), что приведет к наибольшему значению \( 1 - \cos(3x) \).

Когда \( \cos(3x) = -1 \), тогда \( 1 - \cos(3x) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \).

Таким образом, наибольшее значение функции \( y = 1 - \cos(3x) \) равно 2. Оно достигается при значениях \( x \), для которых \( \cos(3x) = -1 \), то есть при \( x \), удовлетворяющих условию:

\[ 3x = \pi + 2\pi n, \quad \text{где} \ n \ \text{— целое число} \]

\[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}n, \quad \text{где} \ n \ \text{— целое число} \]