Question

Помогите Найти производные и упростить полученные выражения f(x) =e^-x^2 * cos^3(2x+3) f(x) =(ln x)^x^2 С решением

Answer 1

Ответ на фото..........

Answer 2

Нахождение производных

Для нахождения производных данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций.

1. Для функции f(x) = e^(-x^2) * cos^3(2x + 3):

Начнем с первого слагаемого: e^(-x^2). По правилу дифференцирования экспоненты, производная этого слагаемого будет равна произведению производной базовой функции и производной показателя степени. Производная экспоненты равна самой экспоненте, а производная показателя степени -x^2 равна -2x. Таким образом, производная первого слагаемого будет равна -2x * e^(-x^2).

Теперь перейдем ко второму слагаемому: cos^3(2x + 3). Мы имеем композицию функций, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций. Производная композиции функций равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

Производная внешней функции cos^3(u), где u = 2x + 3, будет равна произведению степени косинуса cos^2(u) и производной аргумента u. Производная аргумента равна 2. Таким образом, производная внешней функции будет равна 2 * cos^2(2x + 3).

Производная внутренней функции 2x + 3 равна 2.

Объединяя полученные результаты, производная второго слагаемого будет равна 2 * cos^2(2x + 3) * 2 или 4 * cos^2(2x + 3).

Итак, производная функции f(x) = e^(-x^2) * cos^3(2x + 3) будет равна:

f'(x) = -2x * e^(-x^2) + 4 * cos^2(2x + 3).

2. Для функции f(x) = (ln(x))^x^2:

Для нахождения производной этой функции, мы должны использовать правило дифференцирования для функции вида u^v. Сначала найдем производную внешней функции u^v по правилу:

f'(x) = (v * (ln(u))^(v-1)) * u' + (u^v) * (ln(u) * v').

В нашем случае, u = ln(x) и v = x^2. Найдем производные отдельных частей функции.

Производная внешней функции (ln(x))^x^2 будет равна:

f'(x) = (x^2 * (ln(ln(x)))) * (1/x) + ((ln(x))^x^2) * (2x).

Итак, производная функции f(x) = (ln(x))^x^2 будет равна:

f'(x) = (x^2 * (ln(ln(x)))) * (1/x) + ((ln(x))^x^2) * (2x).

Упрощение полученных выражений

Чтобы упростить полученные выражения, можно применить различные алгебраические преобразования. Однако, в данном случае, эти выражения уже находятся в достаточно упрощенной форме и дальнейшее упрощение не требуется.