Question

Помогите Решить дифференциальное уравнение (y+xy)dx+(x-xy)dy=0, y=1 при x=1

Answer 1

Во вложении............................

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[ (y + xy) \, dx + (x - xy) \, dy = 0 \]

Также дано начальное условие: \( y = 1 \) при \( x = 1 \).

Для начала упорядочим уравнение, выделим переменные и проинтегрируем:

\[ (y + xy) \, dx + (x - xy) \, dy = 0 \]

Разделим обе части на \( xy \):

\[ \frac{1}{y} \, dx + \frac{1}{x} \, dy - dx + dy = 0 \]

Теперь проинтегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{1}{y} \, dx + \int \frac{1}{x} \, dy - \int dx + \int dy = C \]

\[ \ln |y| + \ln |x| - x + y = C \]

Сгруппируем логарифмы:

\[ \ln (|xy|) - x + y = C \]

Теперь приведем уравнение к виду \( y = f(x) \):

\[ \ln (|xy|) = x - y + C \]

\[ |xy| = e^{x - y + C} \]

Теперь учтем начальное условие \( y = 1 \) при \( x = 1 \):

\[ |1 \cdot 1| = e^{1 - 1 + C} \]

\[ 1 = e^C \]

Так как \( e^C \) всегда положительно, то можем убрать модуль:

\[ 1 = e^C \]

Теперь найдем константу \( C \):

\[ C = 0 \]

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения:

\[ |xy| = e^{x - y} \]

или

\[ xy = e^{x - y} \]

Это является общим решением уравнения.