Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка E, что CE _|_ AB . Докажите, что все три треугольника на рисунке подобны.

Answer 1

Подобными называются треугольники, у которых все углы равны между собой. 1. Рассмотрим тр-ки АВС и АЕС: угол А - общий, углы АЕС и АСВ - прямые по условию задачи, тоже равны, а углы В и АЕС равны 180 - 90 - угол А, тоже равны. Значит у этих треугольников все углы равны между собой, значит они подобны. 2. Также можно доказать и подобие треугольников АВС и СЕВ, только здесь общим углом для них будет угол В. Если треугольники СЕВ и АЕС подобны треугольнику АВС, значит между собой они тоже подобны, так как все их соответствующие углы равны углам треугольника АВС.

Answer 2

Для начала, давайте разберемся в предоставленной информации. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, в котором точка E находится на гипотенузе AB таким образом, что CE перпендикулярна AB. Нам нужно доказать, что треугольники ABC, AEC и BEC подобны друг другу.

Для доказательства подобия треугольников мы должны показать, что их соответствующие углы равны, а их соответствующие стороны пропорциональны.

Равные углы:

В треугольнике ABC у нас есть угол C, который является прямым углом. Также у нас есть угол AEC, так как CE перпендикулярна AB, то угол AEC также является прямым углом. Таким образом, углы C и AEC равны.

В треугольнике ABC у нас также есть угол B, который можно найти, используя теорему Пифагора. Учитывая, что треугольник ABC прямоугольный, мы знаем, что угол B является острым углом. Также у нас есть угол BEC, который является прямым углом, так как BE и CE взаимно перпендикулярны. Таким образом, углы B и BEC равны.

Пропорциональные стороны:

Мы уже знаем, что углы C и AEC равны, а значит, у нас есть две пары соответствующих углов. Теперь давайте рассмотрим соответствующие стороны треугольников.

В треугольнике ABC гипотенуза AB является общей стороной для трех треугольников. Таким образом, эта сторона уже пропорциональна самой себе.

Теперь рассмотрим другие стороны. В треугольнике ABC сторона AC является катетом, а сторона BC является гипотенузой. В треугольнике AEC сторона AE также является катетом, а сторона EC является гипотенузой. В треугольнике BEC сторона BE является катетом, а сторона EC также является гипотенузой. Таким образом, стороны AC и AE пропорциональны, а стороны BC и BE также пропорциональны.

Вывод:

Исходя из равных углов и пропорциональных сторон, мы можем заключить, что треугольники ABC, AEC и BEC подобны друг другу.