Question

Существуют ли целые числа m и n,для которых верно равенство m^2+2018=n^2?

Answer 1

Нет, не существует. Доказательство
m^2-n^2=2010
(m-n)(m+n)=2010
Если m и n обе четные или обе нечетные, то произведение слева делится на 4, а 2010 на 4 не делится.
Если m и n разной четности, то произведение слева нечетно, а 2010 делится на 2.
Других случаев нет. Доказано.

Answer 2

Конечно, такие целые числа существуют. Для решения этого уравнения можно воспользоваться фактом, что разность квадратов двух чисел может быть выражена как произведение суммы и разности этих чисел.

У нас есть уравнение \(m^2 - n^2 = 2018\). Это уравнение можно переписать как разность квадратов: \((m + n)(m - n) = 2018\).

Теперь нам нужно найти такие целые числа \(m\) и \(n\), чтобы их произведение равнялось 2018. 2018 имеет несколько пар целых чисел, произведение которых равно 2018:

\[ \begin{align*} &1 \times 2018 \\ &2 \times 1009 \\ &-1 \times -2018 \\ &-2 \times -1009 \\ \end{align*} \]

Таким образом, мы можем составить системы уравнений из \(m + n = \text{одно из чисел}\) и \(m - n = \text{другое число}\) для каждой пары, чтобы найти значения \(m\) и \(n\).

Давайте рассмотрим первую пару: \(1 \times 2018\). \[ \begin{align*} m + n &= 1 \\ m - n &= 2018 \\ \end{align*} \]

Путем решения этой системы уравнений получим: \[ \begin{align*} m &= \frac{2019}{2} = 1009.5 \\ n &= \frac{-2017}{2} = -1008.5 \\ \end{align*} \]

Таким образом, для первой пары уравнение не имеет целых решений.

Теперь давайте рассмотрим вторую пару: \(2 \times 1009\). \[ \begin{align*} m + n &= 2 \\ m - n &= 1009 \\ \end{align*} \]

Путем решения этой системы уравнений получим: \[ \begin{align*} m &= \frac{1011}{2} = 505.5 \\ n &= \frac{-1007}{2} = -503.5 \\ \end{align*} \]

Также для второй пары уравнение не имеет целых решений.

Третья и четвертая пары дают аналогичные результаты: решения не являются целыми числами.

Следовательно, уравнение \(m^2 - n^2 = 2018\) не имеет целочисленных решений для \(m\) и \(n\).