Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями X=y^2-4 y=-x-2 Расписать все с графиком

Answer 1

Какой там двойной интеграл, если оно устно решается... Ответ 4.5
Как решать. Видно, что линии пересекаются при х=1 и х=4. Нам надо от площади трапеции (=3,5*3)=10,5, отнять площадь под кривой. Первообразная x^3/3 - 2x^2 +5x, подставляем туда х=4 и х=1, вычитаем (9 и 1/3 - 3 и 1/3)=6. Осталось вычесть площади: 10,5 - 6 = 4.5.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной уравнениями \(X = y^2 - 4\) и \(y = -x - 2\), необходимо найти точки их пересечения, после чего построить график и определить область, ограниченную этими кривыми.

Шаг 1: Найдем точки пересечения уравнений \(X = y^2 - 4\) и \(y = -x - 2\):

Сначала заменим \(y\) в уравнении \(X = y^2 - 4\) на \(-x - 2\):

\[X = (-x - 2)^2 - 4\] \[X = x^2 + 4x + 4 - 4\] \[X = x^2 + 4x\]

Теперь у нас есть два уравнения: \(X = x^2 + 4x\) и \(y = -x - 2\).

Шаг 2: Построим график этих уравнений.

Сначала построим график уравнения \(X = x^2 + 4x\). Это парабола с вершиной в нижнем или верхнем положении в зависимости от знака коэффициента при \(x^2\). Однако, для нашего случая, нам также нужно будет учитывать уравнение \(y = -x - 2\) для полного описания области.

Чтобы определить область пересечения, построим графики обоих уравнений на одном графике:

\[ \begin{align*} X &= x^2 + 4x \\ y &= -x - 2 \end{align*} \]


Из графика видно, что парабола \(X = x^2 + 4x\) направлена вверх, а прямая \(y = -x - 2\) пересекает её в двух точках. Таким образом, область находится между параболой и прямой.

Шаг 3: Определим границы этой области, чтобы вычислить площадь.

Для нахождения точек пересечения \(X = x^2 + 4x\) и \(y = -x - 2\), решим систему уравнений:

\[ \begin{align*} X &= x^2 + 4x \\ y &= -x - 2 \end{align*} \]

\[x^2 + 4x = x(x + 4) = X\] \[y = -x - 2\]

Теперь приравняем \(X\) и \(y^2 - 4\):

\[x(x + 4) = y^2 - 4\] \[y^2 = x(x + 4) + 4\]

Из графика мы видим, что точки пересечения находятся в пределах значений \(x\) от \(x_1\) до \(x_2\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x(x + 4) = y^2 - 4\).

Решим уравнение для нахождения \(x_1\) и \(x_2\):

\[x(x + 4) = x^2 + 4x = y^2 - 4\] \[x^2 + 4x - (y^2 - 4) = 0\] \[x^2 + 4x - y^2 = 0\]

Площадь фигуры между этими кривыми можно найти с помощью определенного интеграла по x в пределах \(x_1\) и \(x_2\) от \(y = -x - 2\) до \(y = \sqrt{x + 4}\) и удвоить результат для учёта симметрии параболы.

К сожалению, без конкретных численных значений \(x_1\) и \(x_2\) вычислить точное значение площади будет затруднительно. Если у вас есть конкретные численные значения, я могу помочь с вычислениями.