Question

Доказать тождество cos a + sin a * tg a - 1/cos a = 0​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

cosa+sina•tga - 1/cosa=0

cosa +sin²a/cosa - 1/cosa= 0 |•cosa

cos²a + sin²a -1 = 0

1-1=0

0=0

Использовалась формула: cos²a+sin²a=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества и основные определения тригонометрии. Давайте начнем.

Используемые тригонометрические тождества

1. Тангенс синуса: $\displaystyle \tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 2. Квадрат синуса: $\displaystyle \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1$ 3. Синус суммы: $\displaystyle \sin ( \alpha +\beta ) =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 4. Косинус суммы: $\displaystyle \cos ( \alpha +\beta ) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Доказательство тождества

Для удобства, давайте обозначим $\displaystyle \sin a$ как $\displaystyle x$, $\displaystyle \cos a$ как $\displaystyle y$ и $\displaystyle \tan a$ как $\displaystyle z$. Тогда наше тождество примет вид:

$\displaystyle \cos a +\sin a \cdot \tan a -\dfrac{1}{\cos a} =0$

Подставим значения синуса, косинуса и тангенса из тригонометрических определений:

$\displaystyle y+xz-\dfrac{1}{y} =0$

Умножим уравнение на $\displaystyle y$ для избавления от знаменателя:

$\displaystyle y^{2} +xz\cdot y-1=0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $\displaystyle y$. Решим его с помощью квадратного корня:

$\displaystyle y=\dfrac{-xz\pm \sqrt{x^{2} z^{2} +4}}{2}$

Заметим, что $\displaystyle x^{2} +y^{2} =1$ (согласно тригонометрическому тождеству номер 2). Подставим это значение в квадратное уравнение:

$\displaystyle \left( \dfrac{-xz\pm \sqrt{x^{2} z^{2} +4}}{2}\right) ^{2} +y^{2} =1$

Раскроем скобки и упростим:

$\displaystyle \dfrac{x^{2} z^{2}}{4} \pm xz\sqrt{x^{2} z^{2} +4} +\dfrac{x^{2} z^{2} +4}{4} +y^{2} =1$

Упростим еще больше, используя тригонометрическое тождество номер 2:

$\displaystyle x^{2} z^{2} \pm xz\sqrt{x^{2} z^{2} +4} +4=0$

Теперь, нам необходимо проверить, выполнится ли это уравнение для всех возможных значений $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$.

Анализ возможных значений

Рассмотрим два случая: $\displaystyle x\neq 0$ и $\displaystyle x=0$.

Случай 1: $\displaystyle x\neq 0$

Если $\displaystyle x\neq 0$, то мы можем разделить уравнение на $\displaystyle x^{2}$:

$\displaystyle z^{2} \pm z\sqrt{z^{2} +\dfrac{4}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x^{2}} =0$

Заметим, что выражение под корнем $\displaystyle z^{2} +\dfrac{4}{x^{2}}$ всегда положительно, поскольку $\displaystyle z^{2}$ и $\displaystyle \dfrac{4}{x^{2}}$ являются неотрицательными. Таким образом, корень всегда существует. После подстановки корня, мы получим квадратное уравнение относительно $\displaystyle z$, которое всегда имеет решение. Следовательно, в этом случае тождество выполняется.

Случай 2: $\displaystyle x=0$

Если $\displaystyle x=0$, тогда наше уравнение примет вид:

$\displaystyle y-\dfrac{1}{y} =0$

Умножим уравнение на $\displaystyle y$:

$\displaystyle y^{2} -1=0$

Это уравнение имеет два решения: $\displaystyle y=\pm 1$. Подставляя эти значения обратно в исходное уравнение, мы видим, что они оба удовлетворяют тождеству. Следовательно, в этом случае тождество также выполняется.

Заключение

Мы доказали, что тождество $\displaystyle \cos a +\sin a \cdot \tan a -\dfrac{1}{\cos a} =0$ выполняется для всех значений $\displaystyle a$, кроме случаев, когда $\displaystyle \cos a =0$.