Question

Вычислить объем тела,образованного вращением фигуры вокруг оси ОХ ,ограниченной линиями: y=x^2 x=-4 x=0

Answer 1

$\displaystyle V=\pi\int\limits_a^b(y(x))^2\,dx=\pi\int\limits_{-4}^0x^4\,dx=\pi\left(\frac{x^5}5\right)_{-4}^0=\frac{1024}5\pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, ограниченной линиями y = x^2, x = -4 и x = 0, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Описание метода цилиндрических оболочек

Метод цилиндрических оболочек основан на представлении фигуры как суммы бесконечного числа тонких цилиндров. Затем мы интегрируем объем каждого цилиндра для получения общего объема фигуры.

Шаги для вычисления объема

1. Найдите точки пересечения кривых y = x^2 и x = -4. Для этого приравняйте уравнения и решите полученное квадратное уравнение. В данном случае, x^2 = -4, уравнение не имеет решений.

2. Найдите точку пересечения кривых y = x^2 и x = 0. Подставьте x = 0 в уравнение y = x^2 и найдите y. В данном случае, y = 0^2 = 0.

3. Определите границы интегрирования для x. В данном случае, границы интегрирования будут от x = -4 до x = 0.

4. Запишите формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту. В данном случае, основание цилиндра - это окружность с радиусом y и высотой dx.

5. Выразите y через x, используя уравнение y = x^2.

6. Запишите формулу для объема цилиндра в терминах x и dx.

7. Интегрируйте формулу для объема цилиндра по границам интегрирования x.

8. Вычислите полученный интеграл для получения объема тела.

Решение

Для данной фигуры, границы интегрирования x равны -4 и 0. Используя формулу для объема цилиндра V = π * y^2 * dx, где y = x^2, мы можем записать:

V = ∫[от -4 до 0] π * (x^2)^2 * dx

Вычисляя данный интеграл, мы получим объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, ограниченной линиями y = x^2, x = -4 и x = 0.