Question

Решить уравнение 4sinx²- 8sinx·cosx+10cos²x= 3

Answer 1

$4\sin^2x-8\sin x\cos x+10\cos^2x=3\\4(\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x)+6\cos^2x-3=0\\4(\sin x-\cos x)^2+6\cos^2x-3\sin^2x-3\cos^2x=0\\4(\cos x-\sin x)^2+3(\cos^2x-\sin^2x)=0\\4(\cos x-\sin x)^2+3(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0\\(\cos x-\sin x)(4(\cos x-\sin x)+3(\cos x+\sin x))=0\\(\cos x-\sin x)(4\cos x-4\sin x+3\cos x+3\sin x)=0\\(\cos x-\sin x)(7\cos x-\sin x)=0$
$\begin{cases}\cos x-\sin x=0\\7\cos x-\sin x=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}tg x=1\\tgx=7\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac\pi4+\pi k\\x=arctg(7)+\pi k\end{cases},k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем замену: пусть t = sin(x) и z = cos(x). Тогда мы можем переписать уравнение в терминах t и z.

Уравнение 4sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 10cos^2(x) = 3 становится

4t^2 - 8tz + 10z^2 = 3.

Теперь давайте решим это квадратное уравнение относительно t:

4t^2 - 8tz + (10z^2 - 3) = 0.

Чтобы найти значения t, мы можем использовать квадратное уравнение. Вы можете использовать формулу дискриминанта, чтобы определить, есть ли решения, и затем использовать формулы корней квадратного уравнения, чтобы найти конкретные значения t.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 4, b = -8z и c = 10z^2 - 3.

Подставим значения и найдем дискриминант:

D = (-8z)^2 - 4 * 4 * (10z^2 - 3).

Упрощаем:

D = 64z^2 - 4 * 4 * (10z^2 - 3).

D = 64z^2 - 160z^2 + 48.

D = -96z^2 + 48.

Теперь, если D ≥ 0, то у нас есть решения для t. Если D < 0, то у нас нет решений.

После того, как мы найдем значения t, мы можем найти соответствующие значения z, используя z = cos(x).

После нахождения t и z, мы можем использовать обратные функции синуса и косинуса, чтобы найти значения x.

Таким образом, чтобы полностью решить уравнение 4sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 10cos^2(x) = 3, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти дискриминант D = -96z^2 + 48. 2. Если D < 0, то уравнение не имеет решений. 3. Если D ≥ 0, найдите значения t, используя формулы корней квадратного уравнения. 4. Найдите соответствующие значения z, используя z = cos(x). 5. Найдите значения x, используя обратные функции синуса и косинуса.

Обратите внимание, что наш подход основан на замене переменных и решении квадратного уравнения. Если вы хотите получить конкретные числовые значения, вам понадобятся конкретные значения для z и D. Если у вас есть конкретные значения для z, я могу помочь вам продолжить решение.