Question

На каких промежутках функция Y=-1,5sin(х/2 - п/4) a) возрастает b) убывает

Answer 1

Работаем с производной.
Y'=-0.75cos(x/2-pi/4)
приравниваем к нулю. знак производной есть проказатель монотонности функции.
-0.75cos(x/2-pi/4)=0 <=> x/2-pi/4=pi/2+pi*k <=> x/2=3pi/4+pi*k
<=> x=3pi/2+2pi*k, где k∈Z
Далее ищем промежутки монотонности по знаку производной.
Получаем, что функция убывает при 4pi*k-pi/2≤x≤3pi/2+4pi*k
и при 4pi*k-5pi/2≤x≤4pi*k-pi/2 функция возрастает.

Answer 2

Функция Y = -1.5sin(x/2 + π/4) зависит от переменной x. Чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает, мы должны рассмотреть производную этой функции.

Производная функции

Для начала, возьмем производную функции Y по переменной x. При производной мы должны применить правило дифференцирования для синуса и правило суммы производных:

Y' = (-1.5) * cos(x/2 + π/4) * (1/2)

Упрощая это выражение, получим:

Y' = -0.75cos(x/2 + π/4)

Определение возрастания и убывания

Теперь, чтобы определить, на каких промежутках функция Y возрастает или убывает, мы должны рассмотреть знак производной функции Y'.

Если производная Y' положительна на некотором промежутке, то функция Y возрастает на этом промежутке. Если производная Y' отрицательна на некотором промежутке, то функция Y убывает на этом промежутке.

Анализ знака производной

Для анализа знака производной Y' = -0.75cos(x/2 + π/4), мы должны установить, когда cos(x/2 + π/4) положителен и когда отрицателен.

Рассмотрим угол x/2 + π/4. * Когда x/2 + π/4 находится в первом или четвертом квадранте (0 < x < π и 2π < x < 3π), cos(x/2 + π/4) положителен. * Когда x/2 + π/4 находится во втором или третьем квадранте (π < x < 2π и 3π < x < 4π), cos(x/2 + π/4) отрицателен.

Вывод

Таким образом, функция Y = -1.5sin(x/2 + π/4) возрастает на промежутках, где x/2 + π/4 находится в первом или четвертом квадранте (0 < x < π и 2π < x < 3π), и убывает на промежутках, где x/2 + π/4 находится во втором или третьем квадранте (π < x < 2π и 3π < x < 4π).

Промежутки возрастания: * 0 < x < π * 2π < x < 3π

Промежутки убывания: * π < x < 2π * 3π < x < 4π