Question

Применение производной и к исследованию функций и построение графиков y= 1/2 x^2 - x - 4

Answer 1

$y=\frac{x^2}{2}-x-4$

Выполним построение опираясь на геометрический смысл производной и не только. Для начала найдём все пересечения с осями координат.

$y(0)=\frac{0^2}{2}-0-4=-4,(0;-4)\\y=\frac{x^2}{2}-x-4=0;D=1+8=3^2\\x=1\pm 3,(-2;0),(4;0)$

Выделим полный квадрат.

$y=\frac{1}{2}(x^2-2*1x+1-1)-4=\frac{1}{2}(x-1)^2-0.5-4=\\\frac{1}{2}(x-1)^2-4.5$

Из этого следует, что для (x-1) функция чётная, то есть имеет вертикальную ось симметрию, поэтому для нашей функций x=1 это вертикальная ось симметрии.

Теперь найдём первую производную.

$y'=(\frac{1}{2}x^2)'-x'-4'=(\frac{1}{2})*(x^2)'-1*x^0-0=\\\frac{1}{2}*2x^{1}-1=x-1$

Если x>1, то производная положительная, значит функция возрастает.

Если x<1, то производная отрицательная, значит функция убывает.

При х=1, производная равна нулю и меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому это минимум функции.

$y(1)=\frac{1^2}{2}-1-4=-4.5,(1;-4.5)$

Теперь найдём вторую производную.

$y''=(y')'=(x-1)'=1*x^0-0=1$

Как видно производная всегда всегда положительная, поэтому функция всегда выпукла вниз.

Смотри построение внизу.

Answer 2

Для исследования функции и построения графика уравнения y = 1/2x^2 - x - 4 мы можем использовать производные.

1. Найдем производную функции y по x. Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности: y' = (1/2)(2x) - 1 - 0 = x - 1

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции. Решим уравнение x - 1 = 0: x = 1

3. Определим знак производной в интервалах между найденными точками экстремума и на бесконечностях. Для этого выберем произвольные значения x в каждом интервале и подставим их в производную. Например, возьмем x = 0 и x = 2: При x = 0: y' = 0 - 1 = -1 (отрицательная производная) При x = 2: y' = 2 - 1 = 1 (положительная производная)

4. Определим значения функции в найденных точках экстремума и на бесконечностях. Для этого подставим значения x в исходное уравнение. Найденные точки экстремума: (1, -4). Значения на бесконечностях можно найти, подставив очень большие значения x и очень маленькие значения x: При x → -∞: y → +∞ (функция стремится к плюс бесконечности) При x → +∞: y → +∞ (функция стремится к плюс бесконечности)

5. Нарисуем график функции. На основе полученной информации о знаке производной и значениях функции в точках экстремума и на бесконечностях, мы можем построить график функции y = 1/2x^2 - x - 4. На графике будут отображены точки экстремума (1, -4) и направление изменения функции в интервалах между ними и на бесконечностях.

Таким образом, применение производной позволяет нам исследовать функцию и построить ее график, определять экстремумы и направление изменения функции на различных интервалах.