Question

Леша принес в класс 32 ореха и решил разделить их между собой, Максом и Борей. Сколько способов существует это сделать, если у каждого в итоге должен оказаться хотя бы один орех?

Answer 1

1) предположим, что разделили следующим способом:
Лёше - 30
Максиму - 1
Боре - 1
Условие (по одному ореху каждому выполнено); способов поделить орехи между Максимом и Борей больше нет, при условие, что у Лёши их 30;
2) предположим, что:
Лёше - 29
Максиму -2
Боре - 1
Но поделить орехи между Максимом и Борей, при условие что у Лёши их 29, теперь два: Можно Боре отдать 2 ореха, а Максиму -1;
Таким образом, можно составить арифметическую прогрессию, где
а1 - 1, d - 1.
Тогда найдем а30;
а30=а1+(30-1)d
а30=30
Найдем сумму арифметической прогресси:
Sn=(а1+аn)n/2
S30=(1+30)30/2
s30=465
Ответ: способов поделить орехи между Лёшей, Максимом и Борей может быть
465.








 

Answer 2

Давай рассмотрим все возможные варианты, чтобы у Леши, Макса и Борея каждый получил хотя бы один орех из 32.

Для начала, у нас есть 32 ореха. Мы можем представить это как раздачу 32 предметов на три человека, где каждый должен получить хотя бы один. Это может быть несколько сложно вычислить напрямую, поэтому пошагово разберем эту задачу.

Давайте начнем с использования принципа включения-исключения:

1. Раздача орехов без каких-либо ограничений: Всего способов раздать 32 ореха трем людям равно \(3^{32}\). 2. Раздача орехов, когда кто-то не получает ни одного: Если один или более человек не получит ни одного ореха, это значит, что все орехи получил один или два человека.

- *Человек 1 получил все 32 ореха:* Один способ. - *Два человека получили орехи, а третий - нет:* Это можно сделать выбрав двух человек из трех, кому достанутся орехи. Это можно сделать \(C(3, 2) = 3\) способами. Для каждой такой пары есть \(2^32\) способов раздать орехи между выбранными людьми (по сути, каждый из двух может получить от 0 до 32 орехов). Теперь применим принцип включения-исключения: общее количество способов минус количество способов сделать это неправильно.

\(3^{32} - \left(1 + 3 \cdot 2^{32}\right)\)

Вычислив это выражение, мы найдем количество способов, когда каждый получит хотя бы один орех из 32.