Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!! найдите площадь фигуры, ограниченных линиями x=8, y=0, y=³√x

Answer 1

$S = \int\limits^8_0 {\sqrt[3]{x}} \, dx =0,75x^\frac{4}{3} |_0^8=0,75*16=12$

Answer 2

y=∛x

0=∛x

x=0

(0;8) S (∛x) dx = (0;8) S (x^1/3 ) dx = ( x^4/3 / 4/3 ) | (0;8) =

=3x^4/3 / 4 | (0;8) = 3*8^(4/3) / 4 - 3*0^(4/3) /4=

=3*2^(3*4/3) / 4 - 0 = 3*2^4 / 4= 3*16/4 = 3*4=12

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями x=8, y=0 и y=³√x, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала давайте посмотрим на график этих функций, чтобы лучше понять, как они ограничивают фигуру.

Графики функций

Функция x=8 является вертикальной линией, проходящей через x=8. Функция y=0 является горизонтальной линией, проходящей через y=0. Функция y=³√x является корнем третьей степени из x и имеет форму графика, похожую на параболу, отраженную от оси x.


Нахождение площади

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем разделить ее на две части: треугольник и параболу.

1. Треугольник: Треугольник ограничен линиями x=8 и y=0. Это прямоугольный треугольник с основанием 8 и высотой 0. Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты, то есть (1/2) * 8 * 0 = 0.

2. Парабола: Парабола ограничена линиями y=0 и y=³√x. Чтобы найти площадь этой части, мы должны интегрировать функцию y=³√x по x в пределах от 0 до 8. Формула для вычисления площади параболы заданной в виде функции y=f(x) в пределах от a до b выглядит следующим образом: S = ∫[a, b] f(x) dx

В нашем случае a = 0 и b = 8, а f(x) = ³√x. Мы можем записать интеграл для нахождения площади параболы следующим образом:

S = ∫[0, 8] ³√x dx

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть u = ³√x, тогда x = u³. Заменяя переменную в интеграле, мы получим:

S = ∫[0, 2] u * 3u² du

Выполнив интегрирование, мы получаем:

S = [u² * 3/4] [0, 2] = (2² * 3/4) - (0² * 3/4) = 6/4 = 1.5

Таким образом, площадь параболы равна 1.5.

Итоговая площадь

Итоговая площадь фигуры, ограниченной линиями x=8, y=0 и y=³√x, равна сумме площади треугольника и параболы:

Общая площадь = Площадь треугольника + Площадь параболы = 0 + 1.5 = 1.5

Таким образом, площадь фигуры равна 1.5.