Question

Помогите решить. Исследовать функцию и построить её график: y=1/x^2+4

Answer 1

ДАНО
Y = X⁻² +4.
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Непрерывность. Область определения - Х≠ 0 - разрыв при Х=0.
Х∈(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Пересечение с осью Х - нет.
Х∈∅ - пусто.
3. Пересечение с осью У -  разрыв - нет
4. Поведение в точке разрыва
У(0-) = +∞
У(0+) = +∞
5. Поведение на бесконечности
У(-∞) = 4
У(+∞) = 4.
6. Проверка на чётность - У(-х) = У(х) - функция чётная.
Поиск экстремумов.
7. Производная функции.
Y'(x) = -2/x³
8 Корень производной в точке разрыва.
Возрастает - Х∈(-∞;0)
Убывает - Х∈(0;+∞)
9. График в приложении.

 

Answer 2

Конечно, я помогу с этим заданием. У вас есть функция \(y = \frac{1}{{x^2 + 4}}\), и первый шаг - построить её график.

Для начала посмотрим на основные характеристики этой функции:

1. Асимптоты: Функция \(y = \frac{1}{{x^2 + 4}}\) имеет вертикальную асимптоту в точках, где знаменатель равен нулю (\(x^2 + 4 = 0\)). Но так как \(x^2 + 4\) всегда положительно для всех \(x\), то асимптоты нет.

2. Поведение при \(x \to \pm \infty\): Посмотрим, что происходит с функцией при стремлении \(x\) к бесконечности. Когда \(x\) становится очень большим по модулю, \(x^2\) растет намного быстрее, чем константа 4. Таким образом, \(x^2 + 4\) становится большим, и \(\frac{1}{{x^2 + 4}}\) стремится к нулю.

Теперь мы можем приступить к построению графика. Я использовал бы компьютерную программу или графический калькулятор для создания этого графика, но могу также описать основные шаги.

На графике вы увидите, что функция убывает, стремясь к нулю по мере того, как \(x\) увеличивается или уменьшается по модулю. Она также будет ограничена снизу нулём и никогда не достигнет оси \(x\).

Если у вас есть доступ к программе для построения графиков (например, Python с библиотекой Matplotlib, Desmos, GeoGebra или любая другая подобная программа), вы можете ввести уравнение \(y = \frac{1}{{x^2 + 4}}\) и построить график для визуального представления функции.

Если у вас есть дополнительные вопросы о характеристиках этой функции или её графике, я могу помочь!