Question

Доказать формулу сумма кубов

Answer 1

(a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3-(a^2)*b+a*b^2+b*a^2-(b^2)*a^2+b^3=a^3+b^3

Answer 2

Формула для суммы кубов первых n натуральных чисел

Для того чтобы доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел, рассмотрим следующее:

Пусть S - сумма кубов первых n чисел. Тогда:

S = 13 + 23 + ... + n3

Разложим каждый член этой суммы по формуле разложения куба:

(a + b + c)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Применив ее для каждого слагаемого, получим:

S = 1*1*1 + 3*1*0 + 3*1*0 + 0*0*0 + 2*2*2 + 3*2*1 + 3*2*0 + 1*0*0 + ... + n*n*n

Объединяя подобные члены, получим:

S = 1 + 8 + 27 + ... + n3 + 3(1 + 4 + 9 + ... + n2) + 3(1 + 2 + 3 + ... + n)

Используя формулы для сумм квадратов и суммы первых n чисел, заменим второй и третий слагаемые:

S = 1 + 8 + 27 + ... + n3 + 3n(n+1)(2n+1)/6 + 3n(n+1)/2

Объединяя, получаем искомую формулу:

S = (1^4 + 2^4 + ... + n^4)/4 = n^2(n+1)^2/4