Question

4. Сумма всех неотрицательных чисел: x1 x2 и x3 не превосходит 0,5. Докажите, что (1-x1)(1-x2)(1-x3)>=1/2

Answer 1

$x1+x2+x3 \leq 0.5$
$(1-x1)(1-x2)(1-x3) \geq 0.5$
разложим:
$1-x1-x2-x3+x1x2+x2x3+x1x3$
$1-(x1+x2+x3)+x1x2+x2x3+x1x3$
из этого выражения точно знаем, что $x1x2+x2x3+x1x3 \geq 0$
И очевидно что $1-(x1+x2+x3) \geq 0,5$
т.к из 1 вычитаем число меньшее 0.5
получается что к числу, которое не меньше 0,5 прибавляем число не меньшее 0, в итоге точно подтверждается выражение 
tex](1-x1)(1-x2)(1-x3) \geq 0.5 [/tex]

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: При x1 = x2 = x3 = 0, получаем (1-0)(1-0)(1-0) = 1, что больше или равно 1/2.

Предположение индукции: Пусть для некоторых неотрицательных чисел x1, x2 и x3, сумма которых не превосходит 0.5, выполняется (1-x1)(1-x2)(1-x3) >= 1/2.

Шаг индукции: Докажем, что если предположение индукции верно для x1, x2 и x3, то оно будет верно и для x1', x2' и x3', где x1', x2' и x3' - некоторые другие неотрицательные числа, сумма которых также не превосходит 0.5.

Пусть x1', x2' и x3' - такие числа, что x1' + x2' + x3' <= 0.5.

Тогда (1-x1')(1-x2')(1-x3') = (1-(x1+x1'))(1-(x2+x2'))(1-(x3+x3')) = [(1-x1)(1-x2)(1-x3)] * [(1-x1')/(1-x1)] * [(1-x2')/(1-x2)] * [(1-x3')/(1-x3)].

Так как (1-x1)(1-x2)(1-x3) >= 1/2 по предположению индукции, а (1-x1')/(1-x1), (1-x2')/(1-x2) и (1-x3')/(1-x3) являются неотрицательными числами (так как все x1, x2, x3, x1', x2', x3' неотрицательны), то (1-x1')(1-x2')(1-x3') >= (1/2) * 1 * 1 * 1 = 1/2.

Таким образом, мы доказали, что если предположение индукции верно для x1, x2 и x3, то оно будет верно и для любых других неотрицательных чисел x1', x2' и x3', сумма которых не превосходит 0.5.

Заключение: По принципу математической индукции, предположение индукции верно для всех неотрицательных чисел x1, x2 и x3, сумма которых не превосходит 0.5.