Question

Стороны треугольника даны уравнениями 4х–у–7=0, х+3у–31=0, х+5у–7=0. Определить точку пересечения его высот

Answer 1

Даны уравнения сторон треугольника:

p = 4х – у – 7 = 0,

t = х + 3у – 31 = 0,

q = х + 5у – 7 = 0.

Находим вершины треугольника как точки пересечения прямых:

p + t = A.   4х – у – 7 = 0,           4х – у – 7 = 0,

                 х + 3у – 31 = 0|*-4     -4х - 12у + 124 = 0,

                                                         - 13y + 117 = 0  

y = -117/-13 = 9,     x = 31 - 3*y = 31 - 3*9 = 4.

Точка А(4; 9).

Аналогично находим:

Точка В = t + q = (67; -12).

Точка С = p + q = (2;1).

Векторы: АВ = (63; -21), ВС = (-65; 13),  АС = (-2; -8).

Уравнения сторон:

АВ = (х - 4)/63 = (у - 9)/(-21),

ВС = (х - 67)/(-65) = (у + 12)/13,

АС = (х - 4)/(-2) = (у - 9)/(-8).

Находим угловые коэффициенты сторон:      

Кав = Ув-Уа = -21       = -1/3.

 Хв-Ха  63

Квс = Ус-Ув = -13      =    -1/5.

 Хс-Хв         -65

Кас = Ус-Уа = -8       =   4.

 Хс-Ха  -2

Угловой коэффициент перпендикуляра равен -1/к(стороны).

к(АА1) = -1/к(ВС) = -1/(-1/5) = 5,

к(ВВ1) = -1/к(АС) = -1/4,

к(СС1) = -1/к(АВ) = -1/(-1/3) = 3.

Уравнение высоты равно: у = кх + в.

Подставив значения соответствующего к и координаты точек, получаем уравнения сторон:

АА1: у = 5х - 11.

ВВ1:  у = (-1/4)х +  4,75 .

СС1:  у = 3х - 5 .

Искомую точку пересечения высот находим как решение системы двух уравнений высот.

АА1: у = 5х - 11.

СС1:  у = 3х - 5 .

Отсюда 5х - 11 = 3х - 5,   2х = 6, х = 6/2 = 3.

              у = 3*3 - 5 = 9 - 5 = 4.

Ответ: точка пересечения (3; 4).

                               

Answer 2

Для определения точек пересечения высот треугольника сначала найдем вершины треугольника, что можно сделать решив систему из трех уравнений:

\[ \begin{cases} 4x - y - 7 = 0 \\ x + 3y - 31 = 0 \\ x + 5y - 7 = 0 \end{cases} \]

Решение этой системы даст нам координаты вершин треугольника. Давайте найдем их.

1. Решим первые два уравнения системы:

\[ \begin{cases} 4x - y - 7 = 0 \\ x + 3y - 31 = 0 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 4 и сложим с первым уравнением:

\[ \begin{cases} 4x - y - 7 = 0 \\ 4x + 12y - 124 = 0 \end{cases} \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ 13y - 117 = 0 \]

Отсюда получаем, что \( y = 9 \). Подставим это значение в первое уравнение:

\[ 4x - 9 - 7 = 0 \]

Отсюда находим, что \( x = 4 \).

Итак, первая вершина треугольника имеет координаты (4, 9).

2. Теперь найдем вторую вершину, решив систему уравнений:

\[ \begin{cases} 4x - y - 7 = 0 \\ x + 5y - 7 = 0 \end{cases} \]

Повторим аналогичные шаги:

Умножим второе уравнение на 4 и сложим с первым уравнением:

\[ \begin{cases} 4x - y - 7 = 0 \\ 4x + 20y - 28 = 0 \end{cases} \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ 21y - 21 = 0 \]

Отсюда получаем, что \( y = 1 \). Подставим это значение в первое уравнение:

\[ 4x - 1 - 7 = 0 \]

Отсюда находим, что \( x = 2 \).

Итак, вторая вершина треугольника имеет координаты (2, 1).

3. Третью вершину мы уже знаем из системы уравнений:

\[ x + 3y - 31 = 0 \]

Подставим координаты второй вершины (2, 1):

\[ 2 + 3 \times 1 - 31 = 0 \]

Утверждение верно.

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника: A(4, 9), B(2, 1), C(2, 1).

Теперь найдем уравнения высот треугольника. Высоты треугольника проходят через вершины и перпендикулярны соответствующим сторонам. Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно записать в виде:

\[ y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) \]

Таким образом, уравнения высот будут следующими:

1. Высота из вершины A проведена к стороне BC. Пусть D - середина BC.

\[ y - 1 = \frac{{9 - 1}}{{4 - 2}}(x - 2) \]

2. Высота из вершины B проведена к стороне AC. Пусть E - середина AC.

\[ y - 9 = \frac{{1 - 9}}{{2 - 4}}(x - 4) \]

3. Высота из вершины C проведена к стороне AB. Пусть F - середина AB.

\[ y - 1 = \frac{{1 - 9}}{{2 - 4}}(x - 2) \]

Решив эти уравнения, мы найдем точки пересечения высот.