Question

Помогите решить: 1. Вычислить производную y= f(x) в x0: a) y=x3; x0=-5 б) y=1/x +корень x ;x0=4 2. Написать уравнение касательной к графику y=f(x) в точке с абсциссой х0 : f(x)=5x^2-3x+3; x0=-3, x0=2 3. Решить уравнение неравенство f '(x)>0 f(x)=x^3-6x^2

Answer 1

1a)y`=3x²    y`(-5)=75
б)y`=-1/x² +1/2√x            y`(4)=-1/16+1/4=3/16
2)f(-3)=45+9+3=57                                  f(2)=20-6+3=17
f`(x)=10x-3
f`(-3)=-33                                                  f`(2)=17
Y=57-33(x+3)=57-33x-99=-33x-42              Y=17+17(x-2)=17+17x-34=17x-17
3)f`(x)=3x²-12x>0
3x(x-4)>0
x=0    x=4
               +              _              +
_______________________________________
                       0                  4
x∈(-≈;0) U (4;≈)

Answer 2

Задача 1: Вычисление производной

а) Для функции y = x^3 в точке x0 = -5, нужно вычислить производную.

Для этого мы используем правило дифференцирования степенной функции. Если у нас есть функция вида y = x^n, где n - это константа, то производная будет равна n * x^(n-1).

В данном случае, у нас функция y = x^3, поэтому производная будет равна 3 * x^(3-1) = 3 * x^2.

Таким образом, производная функции y = x^3 в точке x0 = -5 будет равна 3 * (-5)^2 = 3 * 25 = 75.

б) Для функции y = 1/x * корень x, в точке x0 = 4, нужно вычислить производную.

Для этого мы будем использовать правило дифференцирования произведения функций.

Давайте сначала выразим функцию в виде y = f(x) * g(x), где f(x) = 1/x и g(x) = корень x.

Производная произведения функций определяется следующим образом: (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Вычислим производные f'(x) и g'(x): - f'(x) = -1/x^2 (производная функции 1/x) - g'(x) = 1/(2 * корень x) (производная функции корень x)

Теперь мы можем вычислить производную функции y = 1/x * корень x: y' = (f'(x) * g(x)) + (f(x) * g'(x)) = (-1/x^2 * корень x) + (1/x * 1/(2 * корень x)).

Таким образом, производная функции y = 1/x * корень x в точке x0 = 4 будет равна: y' = (-1/4^2 * корень 4) + (1/4 * 1/(2 * корень 4)).

Подсчитаем это значение:

import math

x0 = 4
y_prime = (-1/(x0**2) * math.sqrt(x0)) + (1/x0 * 1/(2 * math.sqrt(x0)))
y_prime

Ответ: Производная функции y = 1/x * корень x в точке x0 = 4 равна примерно -0.0625.

Задача 2: Уравнение касательной к графику

Для функции y = f(x) = 5x^2 - 3x + 3, в точке с абсциссой x0 = -3 и x0 = 2, нужно найти уравнение касательной к графику в этих точках.

Уравнение касательной к графику в точке (x0, f(x0)) имеет вид y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0).

Для начала, вычислим производную функции f(x).

f'(x) = 10x - 3.

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке x0 = -3:

y - f(-3) = f'(-3) * (x - (-3)).

Подставим значения:

y - (5(-3)^2 - 3(-3) + 3) = (10(-3) - 3) * (x + 3).

y + 60 = (-33) * (x + 3).

Упростим это уравнение:

y + 60 = -33x - 99.

y = -33x - 159.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 5x^2 - 3x + 3 в точке x0 = -3 имеет вид y = -33x - 159.

Теперь найдем уравнение касательной в точке x0 = 2.

y - f(2) = f'(2) * (x - 2).

y - (5(2)^2 - 3(2) + 3) = (10(2) - 3) * (x - 2).

y - 19 = 17(x - 2).

y - 19 = 17x - 34.

y = 17x - 15.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 5x^2 - 3x + 3 в точке x0 = 2 имеет вид y = 17x - 15.

Задача 3: Решение уравнения и неравенства

Для уравнения неравенства f'(x) > 0, где f(x) = x^3 - 6x^2, нужно найти его решение.

Для начала, вычислим производную функции f(x).

f'(x) = 3x^2 - 12x.

Теперь у нас есть неравенство f'(x) > 0, поэтому мы ищем значения x, при которых производная положительна.

3x^2 - 12x > 0.

Вынесем общий множитель:

3x(x - 4) > 0.

Теперь мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства.

1) Рассмотрим интервал x < 0: - Подставим x = -1: 3(-1)(-1 - 4) > 0. Получим 15 > 0, что верно. - Таким образом, на интервале x < 0 неравенство выполняется.

2) Рассмотрим интервал 0 < x < 4: - Подставим x = 1: 3(1)(1 - 4) > 0. Получим -9 > 0, что неверно. - Таким образом, на интервале 0 < x < 4 неравенство не выполняется.

3) Рассмотрим интервал x > 4: - Подставим x = 5: 3(5)(5 - 4) > 0. Получим 15 > 0, что верно. - Таким образом, на интервале x > 4 неравенство выполняется.

Таким образом, решение уравнения неравенства f'(x) > 0 будет: x < 0 или x > 4.