Question

В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?

Answer 1

38+37=65 человек мог максимально увидеть посетитель.
Следовательно количество должно быть больше 65

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию, когда каждый посетитель встречается с каждым другим. Если у нас есть 1000 посетителей, то мы можем использовать комбинаторику для вычисления общего числа пар.

Общее число пар можно вычислить с использованием формулы сочетания \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данном случае \(n = 1000\), и мы хотим вычислить общее число пар посетителей, поэтому \(k = 2\) (поскольку мы ищем пары).

\[C(1000, 2) = \frac{1000!}{2!(1000-2)!} = \frac{1000!}{2!998!}\]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[C(1000, 2) = \frac{1000!}{2!998!} = \frac{1000 \times 999}{2} = 500 \times 999 = 499500\]

Таким образом, в идеальной ситуации, где каждый посетитель встречается с каждым другим, общее число пар будет 499500.

Однако в данной задаче у нас есть ограничение: в любой момент времени на выставке находится менее 38 посетителей. Это означает, что у нас может быть не более 37 посетителей в паре с каждым другим, чтобы не превысить общее число посетителей на выставке (меньше 38).

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда каждый посетитель встречается с каждым другим, но при этом у нас не более 37 посетителей в паре с каждым другим.

Посчитаем общее число пар в этом случае:

\[C(37, 2) = \frac{37!}{2!(37-2)!} = \frac{37 \times 36}{2} = 666\]

Таким образом, если каждый посетитель встречается с каждым другим, и при этом не более 37 посетителей в паре друг с другом, то общее число пар будет 666.

Теперь, чтобы найти наибольшее количество человек, которые гарантированно не встречаются друг с другом попарно, вычитаем это значение из общего числа посетителей:

\[1000 - 666 = 334\]

Таким образом, наибольшее количество человек, гарантированно не встречающихся друг с другом попарно, равно 334.