Question

Сколькими способами можно выбрать 4 солдата из шеренги, в которой стоят 11 солдат, причем чтобы никакие двое из выбранных не стояли бы рядом?

Answer 1

Переформулируем задачу. Пусть у нас уже есть 11 - 4 = 7 солдат, и нам требуется поставить четырёх солдат так, чтобы они не стояли рядом. Схематично изображу ситуацию:
_ o _ o _ o _ o _ o _ o _ o _ - 7 имеющихся солдат (о) и 7 + 1 = 8 промежутков ( _ ), в которые можно ставить оставшихся солдат.

Оставшихся солдат требуется расставить по промежуткам, причём в каждый промежуток можно поместить не более одного солдата. Отсюда модельная задача: есть 8 промежутков, из них надо выбрать 4. Ответ на неё известен - это биномиальный коэффициент из 8 по 4.

Ответ. $C_8^4=\binom84=\frac{8!}{(4!)^2}=70$