Question

Найти интеграл sin^4x * cos^3x dx. (указать метод решения)

Answer 1

Решаем методом внесения под дифференциал: Int(sin^4(x)*(1-sin^2(x))*d(sin(x)))=sin^5(x)/5 -sin^7(x)/7 +C

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫sin^4(x) * cos^3(x) dx можно использовать метод подстановки.

Метод решения:

1. Применим формулу двойного угла для синуса: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. 2. Заменим sin^4(x) в исходном интеграле: sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = ((1 - cos(2x))/2)^2 = (1 - cos(2x))^2/4. 3. Заменим cos^3(x) в исходном интеграле: cos^3(x) = (cos(x))^3. 4. Теперь интеграл принимает вид: ∫((1 - cos(2x))^2/4) * (cos(x))^3 dx.

Решение:

Разложим квадрат (1 - cos(2x))^2: (1 - cos(2x))^2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x).

Теперь интеграл принимает вид: ∫((1 - cos(2x))^2/4) * (cos(x))^3 dx = ∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))/4 * (cos(x))^3 dx.

Раскроем скобки и упростим выражение: ∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))/4 * (cos(x))^3 dx = ∫(cos^3(x) - 2cos(2x) * (cos(x))^3 + (cos^2(2x) * (cos(x))^3))/4 dx.

Теперь разделим интеграл на три отдельных интеграла: ∫(cos^3(x))/4 dx - ∫(2cos(2x) * (cos(x))^3)/4 dx + ∫(cos^2(2x) * (cos(x))^3)/4 dx.

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

1. ∫(cos^3(x))/4 dx: Используем формулу замены: t = sin(x), dt = cos(x) dx. ∫(cos^3(x))/4 dx = ∫(1 - sin^2(x)) * cos(x) dx = ∫(1 - t^2) dt = t - t^3/3 + C = sin(x) - sin^3(x)/3 + C.

2. ∫(2cos(2x) * (cos(x))^3)/4 dx: Используем формулу замены: t = sin(x), dt = cos(x) dx. ∫(2cos(2x) * (cos(x))^3)/4 dx = ∫2cos(2x) * t^3 dt = 2∫cos(2x) * t^3 dt.

Для интегрирования ∫cos(2x) * t^3 dt можно использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = t^3, dv = cos(2x) dt. Тогда du = 3t^2 dt, v = (1/2)sin(2x).

Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

∫cos(2x) * t^3 dt = (1/2)sin(2x) * t^3 - ∫(1/2)sin(2x) * 3t^2 dt.

Упростим полученное выражение: (1/2)sin(2x) * t^3 - (3/2)∫sin(2x) * t^2 dt.

Для интегрирования ∫sin(2x) * t^2 dt можно снова использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = t^2, dv = sin(2x) dt. Тогда du = 2t dt, v = -(1/2)cos(2x).

Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

∫sin(2x) * t^2 dt = -(1/2)cos(2x) * t^2 - ∫-(1/2)cos(2x) * 2t dt.

Упростим полученное выражение: -(1/2)cos(2x) * t^2 + ∫cos(2x) * t dt.

Для интегрирования ∫cos(2x) * t dt можно использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = t, dv = cos(2x) dt. Тогда du = dt, v = (1/2)sin(2x).

Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

∫cos(2x) * t dt = (1/2)sin(2x) * t - ∫(1/2)sin(2x) dt.

Упростим полученное выражение: (1/2)sin(2x) * t - (1/4)∫sin(2x) dt.

∫sin(2x) dt = -(1/2)cos(2x) + C.

Подставляем полученные значения обратно: (1/2)sin(2x) * t - (1/4)∫sin(2x) dt = (1/2)sin(2x) * t - (1/4)(-(1/2)cos(2x)) + C.

Упростим полученное выражение: (1/2)sin(2x) * t + (1/8)cos(2x) + C.

Теперь подставим обратно значения t и x: (1/2)sin(2x) * t + (1/8)cos(2x) + C = (1/2)sin(2x) * sin(x) + (1/8)cos(2x) + C.

Упростим полученное выражение: (1/2)sin^2(x) * sin(2x) + (1/8)cos(2x) + C.

3. ∫(cos^2(2x) * (cos(x))^3)/4 dx: Используем формулу замены: t = sin(x), dt = cos(x) dx. ∫(cos^2(2x) * (cos(x))^3)/4 dx = ∫(1 - sin^2(2x)) * (sin(x))^3 dt = ∫(1 - t^2) * t^3 dt = ∫(t^3 - t^5) dt = t^4/4 - t^6/6 + C = (sin(x))^4/4 - (sin(x))^6/6 + C.

Теперь сложим все три интеграла: ∫sin^4(x) * cos^3(x) dx = sin(x) - sin^3(x)/3 + (1/2)sin^2(x) * sin(2x) + (1/8)cos(2x) + (sin(x))^4/4 - (sin(x))^6/6 + C.

Ответ: ∫sin^4(x) * cos^3(x) dx = sin(x) - sin^3(x)/3 + (1/2)sin^2(x) * sin(2x) + (1/8)cos(2x) + (sin(x))^4/4 - (sin(x))^6/6 + C.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение основано на предоставленных источниках и может быть проверено для точности.