Question

Вычислить интегралы , используя формулу интегрирования по частям.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Интегрирование по частям — это метод нахождения интеграла, когда подынтегральная функция представляется в виде произведения двух других функций. Формула интегрирования по частям имеет вид:

$$\int u dv = uv - \int v du$$

где $u$ и $v$ — непрерывно дифференцируемые функции. Для определенного интеграла формула имеет вид:

$$\int_a^b u dv = uv \bigg|_a^b - \int_a^b v du$$

где $a$ и $b$ — пределы интегрирования. Чтобы применить этот метод, нужно выбрать функции $u$ и $dv$ так, чтобы интеграл $\int v du$ был проще, чем исходный интеграл.

Пример. Вычислить интеграл $\int x \sin x dx$.

Решение. Выберем $u = x$ и $dv = \sin x dx$. Тогда $du = dx$ и $v = -\cos x$. Подставим в формулу:

$$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int -\cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$$

где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$.