Question

Тригонометрическое уравнение 2cos^2x+2sinx=2,5

Answer 1

 В заданном уравнении 2cos²x + 2sinx = 2,5 заменим cos²x = 1 - sin²x.
Получим 2 - 2sin²x + 2sinx = 2,5.
Замена: sinx = y.
Получаем квадратное уравнение: 2у² - 2у + 0,5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*2*0,5=4-4*2*0,5=4-8*0,5=4-4=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-(-2/(2*2))=-(-2/4)=-(-0,5)=0,5. 
Обратная замена: sinx = 0,5.

Общий вид решения уравнения  sin x  = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:

x = (- 1)^k * arcsin(a) +  πk,  k ∈ Z (целые числа),

Тогда х = (π/6) + 2πk, k ∈ Z.
          x = (5π/6) + 2πk, k ∈ Z.

Answer 2

Конечно, давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

\[2\cos^2(x) + 2\sin(x) = 2.5.\]

Для упрощения уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Мы также можем записать \(\cos^2(x)\) как \(1 - \sin^2(x)\).

Подставим эти выражения в уравнение:

\[2(1 - \sin^2(x)) + 2\sin(x) = 2.5.\]

Упростим:

\[2 - 2\sin^2(x) + 2\sin(x) = 2.5.\]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[2\sin^2(x) - 2\sin(x) + 0.5 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Чтобы решить его, воспользуемся квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -2\), и \(c = 0.5\).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[\sin(x) = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(0.5)}}{2(2)}.\]

\[\sin(x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{4}.\]

\[\sin(x) = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{4}.\]

\[\sin(x) = \frac{2}{4}.\]

\[\sin(x) = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\sin(x)\): \(\frac{1}{2}\). Теперь найдем угол \(x\), для которого \(\sin(x) = \frac{1}{2}\).

Обычно мы знаем, что \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), поэтому одним из решений будет \(x = \frac{\pi}{6}\). Другой угол с тем же значением синуса находится в третьем квадранте, и это \(\frac{5\pi}{6}\).

Таким образом, у уравнения \(2\cos^2(x) + 2\sin(x) = 2.5\) есть два решения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.