Question

Разложить следуйщую функцию в ряд Маклорена и определить радиус сходимости ряда. y=sin x^2/2.

Answer 1

Зная разложение в ряд Маклорена  функции у = sin x
$sin x=x- \frac{ x^{3} }{3!}+\frac{ x^{5} }{5!}+...+(-1) ^{n-1} \frac{x^{2n-1} }{(2n-1)!}+...$

-∞ < x < +∞,  R=∞
Заменим х на (х²/2) получим разложение данной функции
$sin \frac{ x^{2} }{2} = \frac{ x^{2} }{2}- \frac{ (\frac{ x^{2} }{2}) ^{3} }{3!}+\frac{ (\frac{ x^{2} }{2}) ^{5} }{5!}+...+(-1) ^{n-1} \frac{ (\frac{ x^{2} }{2}) ^{2n-1} }{(2n-1)!}+...$
или
$sin \frac{ x^{2} }{2} = \frac{ x^{2} }{2}- \frac{ x^{6} }{8\cdot3!}+\frac{ x^{10} }{32\cdot 5!}+...+(-1) ^{n-1} \frac{ x ^{4n-2} }{2 ^{2n-1} (2n-1)!}+...$
 радиус сходимости находим из неравенства
-∞< (x²/2)<∞    ⇒    R=∞

Answer 2

Разложение функции в ряд Маклорена

Чтобы разложить функцию в ряд Маклорена, сначала нужно найти значения всех её производных в точке разложения (обычно это ноль) и записать их в виде коэффициентов перед степенями переменной. Затем функцию можно представить в виде суммы бесконечного ряда, где каждый член ряда представляет собой производную функции, умноженную на соответствующую степень переменной, делённую на факториал этой степени.

Для функции y = sin(x^2/2) мы начинаем с вычисления производных функции в точке разложения x=0.

Первая производная: y' = cos(x^2/2) * (2x/2) = x * cos(x^2/2)

Вторая производная: y'' = (cos(x^2/2) * (2x/2))' = (x * cos(x^2/2))' = cos(x^2/2) - x * sin(x^2/2)

Третья производная: y''' = (cos(x^2/2) - x * sin(x^2/2))' = -sin(x^2/2) - sin(x^2/2) + x * cos(x^2/2) * 2x = -2sin(x^2/2) + 2x^2 * cos(x^2/2)

и т.д.

В общем случае, n-я производная будет иметь вид:

y^(n)(x) = (-1)^(n/2) * 2^(n/2) * sin(x^2/2) + (-1)^((n-1)/2) * 2^((n-1)/2) * x^2 * cos(x^2/2),

где n - чётное число.

Радиус сходимости ряда

Радиус сходимости ряда Маклорена определяется по формуле:

R = lim |a_n / a_(n+1)|,

где a_n - коэффициент перед n-й степенью переменной в разложении ряда.

В нашем случае, a_n = (-1)^(n/2) * 2^(n/2) и a_(n+1) = (-1)^((n+2)/2) * 2^((n+2)/2).

Подставляя значения коэффициентов в формулу для радиуса сходимости, получаем:

R = lim |((-1)^(n/2) * 2^(n/2)) / ((-1)^((n+2)/2) * 2^((n+2)/2))|.

Упрощая выражение, получаем:

R = lim |(-1)^(n/2) * 2^(n/2) / (-1)^((n+2)/2) * 2^((n+2)/2)|.

Заметим, что величина (-1)^(n/2) будет равна 1 при чётных значениях n и -1 при нечётных значениях n. Также заметим, что 2^(n/2) / 2^((n+2)/2) можно сократить до 2^(-1/2).

Для чётных значений n, получаем:

R = lim |1 * 2^(-1/2) / (-1) * 2^(-1/2)| = lim |1 / -1| = 1.

Для нечётных значений n, получаем:

R = lim |-1 * 2^(-1/2) / 1 * 2^(-1/2)| = lim |-1 / 1| = 1.

Таким образом, радиус сходимости ряда Маклорена для функции y = sin(x^2/2) равен 1. Это означает, что разложение функции в ряд Маклорена будет сходиться при |x| < 1.