Question

Найти частное решение дифференциального уравнения у"+7у'+6у=0 у(0)=1; у'(0)=2

Answer 1

$y''+7y'+6y=0\\k^2+7k+6=0\\(k+6)(k+1)=0\\k_1=-6,k_2=-1\\y=C_1e^{-x}+C_2e^{-6x}\\y'=-C_1e^{-x}-6C_2e^{-6x}\\y(0)=C_1e^0+C_2e^0=C_1+C_2=1, C_1=1-C_2\\y'(0)=-C_1e^0-6C_2e^0=-C_1-6C_2=2\\-(1-C_2)-6C_2=2\\-1+C_2-6C_2=2\\-5C_2=3\\C_2=-0.6\\C_1=1-(-0.6)\\C_1=1.6\\y=1.6e^{-x}-0.6e^{-6x}$

Answer 2

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение. которое имеет вид:
$\displaystyle k^2+pk+q=0$


$\displaystyle k^2+7k+6=0\\D=49-24=25=5^5\\k_1=-1; k_2=-6$

тогда общее решение данного уравнения примет вид:

$\displaystyle y=C_1e^{-x}+C_2e^{-6x}$

найдем частное решение при условии 
y(0)=1 и y`(0)=2

Подставим х=0 в общее решение нашего уравнения

$\displaystyle y(0)=C_1*e^0+C_2*e^0=C_1+C_2=1$

Теперь найдем производную

$\displaystyle y`(x)=-1*C_1e^{-x}-6C_2e^{-6x}$

и найдем его значение при х=0

$\displaystyle y`(0)=-C_1e^0-6C_2e^0=-C_1-6C_2=2$

получили систему. Решим ее

$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {-C_1-6C_2=2}} \right\\ \left \{ {{C_1=1-C_2} \atop {-(1-C_2)-6C_2=2}} \right.\\ \left \{ {{C_1=1-C_2} \atop {-5C_2=3}} \right.\\ \left \{ {{C_1= \frac{8}{5}} \atop {C_2=- \frac{3}{5}}} \right.$

тогда частное решение  будет иметь вид

$\displaystyle y= \frac{8}{5}e^{-x}- \frac{3}{5}e^{-6x}$

Answer 3

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения у'' + 7у' + 6у = 0, где у(0) = 1 и у'(0) = 2, можно использовать метод вариации постоянных.

Предположим, что решение имеет вид у = e^(rx), где r - неизвестная постоянная.

Тогда у' = re^(rx) и у'' = r^2e^(rx).

Подставим это в исходное уравнение:

r^2e^(rx) + 7re^(rx) + 6e^(rx) = 0.

Факторизуем это уравнение:

e^(rx)(r^2 + 7r + 6) = 0.

Так как e^(rx) не может быть равным нулю для любого значения x, то у нас остается квадратное уравнение:

r^2 + 7r + 6 = 0.

Факторизуем его:

(r + 6)(r + 1) = 0.

Таким образом, получаем два значения для r: r1 = -6 и r2 = -1.

Теперь найдем общее решение для уравнения у'' + 7у' + 6у = 0:

у(x) = C1e^(-6x) + C2e^(-x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Для нахождения частного решения с учетом начальных условий у(0) = 1 и у'(0) = 2, подставим эти значения в общее решение:

у(0) = C1e^(-6*0) + C2e^(-0) = C1 + C2 = 1,

у'(0) = -6C1e^(-6*0) - C2e^(-0) = -6C1 - C2 = 2.

Решим эту систему уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения получаем C1 = 1 - C2.

Подставим это значение во второе уравнение:

-6(1 - C2) - C2 = 2,

-6 + 6C2 - C2 = 2,

5C2 = 8,

C2 = 8/5.

Теперь найдем C1:

C1 = 1 - C2 = 1 - 8/5 = 5/5 - 8/5 = -3/5.

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения с начальными условиями у(0) = 1 и у'(0) = 2 имеет вид:

у(x) = (-3/5)e^(-6x) + (8/5)e^(-x).