Question

Y=(3x^5-2)^4 найти производную

Answer 1

D/dx((3 x^5 - 2)^4) = 60 x^4 (3 x^5 - 2)^3

Answer 2

Давайте найдем производную функции \(Y = (3x^5 - 2)^4\) по переменной \(x\), используя правило цепочки (chain rule).

Правило цепочки гласит, что производная сложной функции \(f(g(x))\) равна произведению производной внешней функции \(f'(g(x))\) и производной внутренней функции \(g'(x)\). Формально:

\[(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

В данном случае внешней функцией является возведение в четвертую степень, а внутренней - \(3x^5 - 2\). Таким образом, мы имеем:

\[f(u) = u^4, \quad g(x) = 3x^5 - 2\]

Производная внешней функции \(f'(u)\) равна \(4u^3\), а производная внутренней функции \(g'(x)\) равна \(15x^4\).

Теперь применим правило цепочки:

\[Y'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^5 - 2)^3 \cdot 15x^4\]

Таким образом, производная функции \(Y\) по переменной \(x\) равна:

\[Y'(x) = 60x^4(3x^5 - 2)^3\]

Это и есть ответ.