Question

Решите интегралы S dx/x^2+4x+1 S x^2dx/корень5-x^2

Answer 1

∫ x²+4x+1=1/3x³+2x²+x+C
∫√5-x²=√5x-1/3x+C

Answer 2

Давайте решим данные интегралы:

1. \( \int \frac{S \, dx}{x^2 + 4x + 1} \) 2. \( \int \frac{x^2 \, dx}{\sqrt{5 - x^2}} \)

Интеграл 1: \( \int \frac{S \, dx}{x^2 + 4x + 1} \)

Здесь можно попробовать завершить квадрат, чтобы упростить выражение в знаменателе. У нас есть знаменатель вида \(x^2 + 4x + 1\), который может быть представлен в виде полного квадрата.

\[ x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 3 \]

Теперь интеграл примет следующий вид:

\[ \int \frac{S \, dx}{(x + 2)^2 - 3} \]

Чтобы решить этот интеграл, можно сделать замену переменной. Для этого проведем следующую замену:

\( u = x + 2 \)

Следовательно, \( du = dx \).

Тогда интеграл принимает вид:

\[ \int \frac{S \, dx}{(x + 2)^2 - 3} = \int \frac{S \, du}{u^2 - 3} \]

Это можно решить, используя частное дробление или метод тригонометрической замены.

Интеграл 2: \( \int \frac{x^2 \, dx}{\sqrt{5 - x^2}} \)

Для решения этого интеграла мы можем сделать следующую замену:

\[ x = \sqrt{5} \sin(\theta) \] \[ dx = \sqrt{5} \cos(\theta) \, d\theta \]

Тогда наше выражение примет следующий вид:

\[ \int \frac{x^2 \, dx}{\sqrt{5 - x^2}} = \int \frac{5 \sin^2(\theta) \cdot \sqrt{5} \cos(\theta) \, d\theta}{\sqrt{5 - 5\sin^2(\theta)}} \] \[ = \int \frac{5\sin^2(\theta) \cdot \sqrt{5} \cos(\theta) \, d\theta}{\sqrt{5 \cos^2(\theta)}} \] \[ = \int 5\sin^2(\theta) \, d\theta \]

Затем можно воспользоваться формулами половинного угла или другими методами интегрирования для вычисления данного интеграла.

Итак, чтобы полностью решить данные интегралы, необходимо дополнительно обработать полученные упрощенные выражения и выполнить оставшиеся шаги интегрирования в зависимости от выбранного метода решения.