Question

На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 100 в некотором порядке. Для каждой пары соседних чисел в этом ряду посчитали среднее арифметическое и сложили получившиеся 99 чисел. Могло ли при этом в сумме получиться 5000?

Answer 1

наверное да 123...100+99 и среднее арифметическое =500

Answer 2

Для рассмотрения данной задачи воспользуемся алгоритмическим подходом.

Пусть a1, a2, ..., a100 - числа, записанные на доске в некотором порядке.

Из условия задачи следует, что первое и последнее число являются соседними, а также сумма чисел равна:

a1 + a2 + a3 + ... + a99 + a100 = 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050

Мы знаем, что для каждой пары соседних чисел мы посчитали среднее арифметическое и сложили получившиеся 99 чисел. Пусть это число равно x:

a1 + x + x + ... + x + a100 = a1 + 99x + a100 = 5050

Заметим, что прибавление одного и того же числа x к a1 и a100 не меняет сумму чисел на доске. То есть, сумма a1 и a100 может быть любым числом, при условии, что это число будет вычитаться из итоговой суммы.

Теперь предположим, что сумма получившихся 99 чисел равна 5000. Тогда у нас имеем уравнение:

a1 + 99x + a100 = 5000

Заметим, что сумма 99 чисел кратна 99 и при делении на 99 должна давать целое число. Однако, число 5000 не делится нацело на 99, значит такая сумма не может быть равна 5000.

Таким образом, сумма получившихся 99 чисел не может быть равна 5000. Ответ: нет, это невозможно.