Question

Много много баллов)) Остальные задачи у меня в профиле)) Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.

Answer 1

А) Высота на основание равна H =√(38²-(26/2)²) = √(1444-169) = √1275 =  35.70714. Разделив на 2, получим половину высоты h = 17,85357. Средняя линия пересекает высоту именно в этом месте.
Теперь найдём радиус вписанной окружности:
r = √((p-a)(p-b)(p-c)/p) = √(( 51-38)( 51-26)( 51-38)/ 51) = 9,10182055.
2 радиуса (диаметр) равны 2r = 2* 9,10182055 = 18,2036411.
Это доказывает, что средняя линия пересекает вписанную окружность.

б) Величина стрелки (это высота сегмента) равна Δ = 2r - h = 18,2036411 - 17,85357 =  0.35007002.
Длина отрезка  средней линии, заключённого внутри окружности, равна L = 2√(r²-(r-Δ)²) = √(9,10182055²-(9,10182055-  0.35007002)²) =2√6.25 = 2*2.5 = 5.

Answer 2

Давайте рассмотрим данный равнобедренный треугольник. Обозначим его вершину как A, основание как BC (где B и C - середины сторон), боковые стороны как AB и AC, и высоту, опущенную из вершины A на основание BC, как AD. Пусть O - центр вписанной окружности, а r - радиус этой окружности.

Условие: AB = AC = 26 и BC = 38.

а) Докажем, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

Рассмотрим сегмент AD (высота) и BD (половина основания). Поскольку треугольник ABC равнобедренный, мы знаем, что AD = BD.

Также известно, что если провести биссектрисы углов треугольника, они пересекаются в центре вписанной окружности. Пусть точка пересечения биссектрис и высоты будет точкой M.

Теперь, поскольку AD = BD, точка M лежит на средней линии треугольника, параллельной основанию BC.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдем длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

Так как M - середина BC, то BM = MC = BC / 2 = 19.

Теперь мы видим, что треугольник OMB - прямоугольный, где OB - радиус окружности, BM - половина основания, и OM - длина отрезка средней линии.

Используем теорему Пифагора:

\[OB^2 = OM^2 + BM^2\]

\[(r)^2 = (OM)^2 + (19)^2\]

\[OM = \sqrt{r^2 - 19^2}\]

Теперь у нас есть выражение для длины отрезка средней линии, заключенного внутри окружности.