Question

Сложим все числа, которые получаются из некоторого натурального числа вычеркиванием какой-либо его цифры(слагаемых будет столькоже сколько цифр в этом числе). Может ли полученная сумма окащатьс 2017?

Answer 1

Понятно, что числа могут быть четырехзначные.
МКЛН.  К*100+Л*10+Н+М*100+Л*10+Н+М*100+К*10+Н+М*100+К*10+Л=
М*300+К*120+Н*3+Л*21=3*(100*М+40*К+7*Л+Н)=2017
Этого не может быть, т.к. полученное число должно быть кратно 3, а 2017 на 3 не делится.

Answer 2

Пусть дано натуральное число n с k цифрами. Тогда полученная сумма будет состоять из k слагаемых, каждое из которых является числом, полученным из числа n вычеркиванием одной из его цифр.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. 1) Если вычеркнуть первую цифру числа n, получим число, равное остатку от деления числа n на 10^(k-1). Т.е. первое слагаемое равно n % (10^(k-1)). 2) Если вычеркнуть вторую цифру числа n, получим число, равное сумме числа, состоящего из первых k-1 цифр числа n, и числа, состоящего из цифры n на позиции k. Т.е. второе слагаемое равно (n // 10^(k-1+1))*(10^(k-1)) + (n % 10^(k-1)).

Аналогично, можно выразить каждое следующее слагаемое, и получить формулу для полученной суммы: S = (n % (10^(k-1))) + (n // 10^(k-1))*(10^(k-1)) + (n // 10^(k-1+1))*(10^(k-1)) + ... + (n // 10^(k-1+1+...+1))*(10^(k-1)) + (n // 10^(k-1+...+1+2))*(10^(k-1)) + ... + (n // 10^(2+k-1))*(10^(k-1)) + (n // 10^(1+k-1))*(10^(k-1))

Здесь "//" обозначает целочисленное деление, "%" - остаток от деления.

Можно заметить, что каждое слагаемое кратно (10^(k-1)), а значит, и сумма S также кратна (10^(k-1)).

Важно отметить, что полученная сумма не может превышать сумму всех цифр числа n (иначе бы некоторые из его цифр при вычеркивании заменялись на нули). Также, полученная сумма ограничивается сверху значением n*(k-1).

Теперь, рассмотрим значение 2017. Чтобы полученная сумма была равной 2017, необходимо выполнение следующих условий: 1) Полученная сумма должна быть кратна (10^(k-1)). Поскольку 2017 не кратно ни одной степени 10, это условие уже не выполняется. 2) Полученная сумма не должна превышать n*(k-1). Проверим это условие, подставив в формулу для S: S <= n + n + n + ... + n + n = n*k n*k < 2017 n < 2017/k

Таким образом, для получения суммы, равной 2017, число n должно быть меньше 2017/k.

В итоге, ответ на данный вопрос зависит от значений числа k. Если существует натуральное число n, удовлетворяющее условиям k-1 < n < 2017/k, то сумма может быть равной 2017. В противном случае, сумма не может быть равной 2017.