Question

Докажите,что любой прямоугольный треугольник с гипотенузой 4с можно закрыть тремя одинаковыми кругами радиуса с

Answer 1

Тк центр описаной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, тогда радиус описаной окружности равен половине гипотенузы= 2с. Диаметр окружности с радиусом с равен 2с=> первый круг закроет вершину прямого угла и гипотенуза будет касаться окружности. Тк диаметр наших кругов равен 2с, то расположим оставшиеся два круга так, чтобы половины гипотенузы стали их диаметрами. 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами, обозначим его как ABC. Пусть сторона AB является гипотенузой, а стороны AC и BC - катетами.

Чтобы закрыть треугольник тремя одинаковыми кругами, мы можем разместить по кругу на концах каждого катета (то есть в точках A и C), и один круг с центром в середине гипотенузы (то есть на точке M).

Рассмотрим треугольник ABC более подробно. Он имеет прямой угол между гипотенузой и катетами, то есть ∠BAC = 90°. Обозначим середину гипотенузы как M. Также рассмотрим треугольник AMB и треугольник CMB.

Расстояние от точки A до середины гипотенузы M равно половине гипотенузы, то есть AM = BM = AB/2 = (4с)/2 = 2с. Таким образом, радиус круга с центром в точке M равен 2с. Известно, что все три круга имеют одинаковый радиус, поэтому радиус каждого из кругов равен 2с.

Докажем, что три круга равномерно закрывают прямоугольный треугольник ABC.

В треугольнике AMB, прямой угол ∠B равен 90°, а радиус круга равен 2с. Следовательно, дуга данного круга, охватывающая этот угол, равна π радианов. Так как радиус всех трех кругов равен 2с, то их дуги, охватывающие угол ∠B, равны π радианов каждая.

Рассмотрим треугольник CMB. В этом треугольнике гипотенуза CB равна 4с, также известно, что гипотенуза делится пополам точкой M. Тогда длина катета CM равна CB/2 = (4с)/2 = 2с. Таким образом, треугольник CMB имеет те же размеры и пропорции, что и треугольник AMB.

Следовательно, каждый из трех кругов равномерно закрывает треугольник ABC, так как всегда покрывает радиусом 2с угол ∠B, который является прямым углом в треугольнике ABC.

Таким образом, мы доказали, что любой прямоугольный треугольник с гипотенузой 4с можно закрыть тремя одинаковыми кругами радиуса 2с.