Question

Lim/x--->3 x-3/x2-8x+15

Answer 1

X^2-8x+15=x^2-8x+15+1-1=(x^2-8x+16)-1=(x-4)^2-1=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3).
lim/x-->3 (x-3)/(x-5)(x-3)=lim/x-->3/ 1/(x-5)=-1/2. фух

Answer 2

Разложим знаменатель на множители: x^2-8x+15=x^2-8x+15+1-1=(x^2-8x+16)-1=(x-4)^2-1=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3).
lim/x-->3 (x-3)/(x-5)(x-3)=lim/x-->3/ 1/(x-5)=-1/2.

Answer 3

Для решения данного предела, мы можем сначала упростить выражение в числителе и знаменателе. Давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

Выражение в числителе: x - 3

Выражение в знаменателе: x^2 - 8x + 15

Для начала, давайте проверим, существуют ли какие-либо особые точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого, мы можем решить уравнение x^2 - 8x + 15 = 0.

Факторизуем это уравнение: (x - 3)(x - 5) = 0

Таким образом, мы получаем две особых точки: x = 3 и x = 5.

Теперь, давайте рассмотрим предел, когда x стремится к 3. Заметим, что числитель также стремится к 3 - 3 = 0, а знаменатель стремится к (3)^2 - 8(3) + 15 = 0.

Когда числитель и знаменатель стремятся к нулю, мы можем использовать правило Лопиталя для нахождения предела. Правило Лопиталя гласит, что если пределы функций f(x) и g(x) равны нулю или бесконечности, а производные этих функций f'(x) и g'(x) существуют в некоторой окрестности точки, то предел их частного f(x) / g(x) будет равен пределу их частных производных f'(x) / g'(x).

В нашем случае, предел числителя и знаменателя равен нулю, поэтому мы можем применить правило Лопиталя.

Дифференцируем числитель и знаменатель: Числитель: 1 Знаменатель: 2x - 8

Теперь, найдем предел нового выражения при x, стремящемся к 3: lim (x -> 3) (1) / (2x - 8) = 1 / (2(3) - 8) = 1 / (6 - 8) = 1 / (-2) = -1/2

Таким образом, предел функции lim (x -> 3) (x - 3) / (x^2 - 8x + 15) равен -1/2 при x, стремящемся к 3.

Аналогично, мы можем рассмотреть предел, когда x стремится к 5. В этом случае числитель будет равен 5 - 3 = 2, а знаменатель будет равен (5)^2 - 8(5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0.

Мы снова можем применить правило Лопиталя и продолжить процесс дифференцирования. После нескольких шагов, мы получим предел равным 2 / (2(5) - 8) = 2 / (10 - 8) = 2 / 2 = 1.

Таким образом, предел функции lim (x -> 5) (x - 3) / (x^2 - 8x + 15) равен 1 при x, стремящемся к 5.

В итоге, предел функции (x - 3) / (x^2 - 8x + 15) при x, стремящемся к 3 или 5, равен -1/2 и 1 соответственно.