Question

Найти косинус угла между плоскостями 2х-3z+5=0, х+у-3z-16=0

Answer 1

Вычислим угол между плоскостями 
2x - 3z + 5 = 0 и 
x + y - 3z - 16 = 0

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)).
cos α = |2·1 + 0·1 + (-3)·(-3)| /((√2² + 0² + (-3)²)*(√1² + 1² + (-3)²))= 
           =  |2 + 0 + 9|/(√(4 + 0 + 9)*√(1 + 1 + 9)) =
           = 11/(√13* √11) = 11/√143 ≈ 0.919866.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями, представленными уравнениями вида \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A, B, C\) - коэффициенты плоскости, нужно использовать следующую формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

В данном случае у нас есть две плоскости:

1. \(2x - 3z + 5 = 0\), что можно записать в виде \(2x + 0y - 3z - 5 = 0\). Таким образом, коэффициенты первой плоскости: \(A_1 = 2\), \(B_1 = 0\), \(C_1 = -3\), \(D_1 = -5\). 2. \(x + y - 3z - 16 = 0\), что можно записать в виде \(x + y - 3z + 16 = 0\). Таким образом, коэффициенты второй плоскости: \(A_2 = 1\), \(B_2 = 1\), \(C_2 = -3\), \(D_2 = -16\).

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{(2 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (-3 \cdot -3)}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{2 + 9}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{11}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{143}} \]

Это и есть значение косинуса угла между данными плоскостями. Если вам нужно значение самого угла, вы можете воспользоваться обратной функцией косинуса: \(\theta = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{143}}\right)\).