Question

Найдите 3-ий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 6, а сумма 5-ти первых членов равна 93/16

Answer 1

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как: Sб = b1/(1-q), где b1 - первый член прогрессии, q - ее знаменатель, причем |q|<1.
По условию, Sб=b1/(1-q)=6. То есть (q-1)/b1=-1/6, b1=6*(1-q)
Сумма первых n членов любой геометрической прогрессии определяется как:
S = b1*(q^n-1)/(q-1).
То есть b1*(q^n-1)/(q-1)=93/16.
Умножим левую часть этого равенства на (q-1)/b1, а правую на равное значение -1/6:
b1*(q^n-1)/(q-1) * (q-1)/b1 = 93/16 * (-1/6)
Получим, что q^n-1=-93/96, q^n=3/96=1/32.
По условию, n=5. Получим, что q=1/2.
Найдем b1: b1=6*(1-q) = 6*(1-1/2)=3
Далее найдем 3-й член прогрессии как: b3=b1*q^2=3*(1/2)^2=3/4

Answer 2

Давайте обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель как \( r \). Тогда третий член будет равен \( ar^2 \).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии задается формулой: \[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Сумма первых пяти членов прогрессии: \[ S_5 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) \]

Известно, что \( S_5 = \frac{93}{16} \).

Также, мы знаем, что сумма прогрессии равна 6: \[ S = \frac{a}{1 - r} = 6 \]

Итак, у нас два уравнения: \[ \frac{a}{1 - r} = 6 \] \[ a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = \frac{93}{16} \]

Давайте найдем \( a \) и \( r \). Начнем с уравнения суммы: \[ a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = \frac{93}{16} \]

Заметим, что это геометрическая прогрессия с пятью членами, поэтому можем использовать формулу суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Подставим для \( S_5 \): \[ a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = a\left(\frac{1 - r^5}{1 - r}\right) = \frac{93}{16} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( a \) и \( r \)). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \( a \) и \( r \), а затем найти третий член прогрессии \( ar^2 \).