Question

Исследовать на экстремум: f(x)=50x²-x⁴+13

Answer 1

F`(x)=100x-4x³=4x(25-x²)=4x(5-x)(5+x)=0
x=0  x=5  x=-5
           +                   _                    +                       _
---------------(-5)---------------(0)---------------(5)--------------------
возр           max  убыв     min возр        max  убыв

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \( f(x) = 50x^2 - x^4 + 13 \), нужно найти её производные и приравнять их к нулю. Экстремумы функции могут быть локальными минимумами или максимумами.

1. Найдем первую производную функции \( f'(x) \): \[ f'(x) = 100x - 4x^3 \]

2. Теперь приравняем \( f'(x) \) к нулю и найдем значения \( x \), где производная равна нулю: \[ 100x - 4x^3 = 0 \]

Вынесем общий множитель: \[ x(25 - x^2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \( x \): \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = \sqrt{25} \] \[ x_3 = -\sqrt{25} \]

3. Теперь найдем вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = 100 - 12x^2 \]

4. Определим значение второй производной в точках, где \( f'(x) = 0 \), т.е. при \( x = 0, \sqrt{25}, -\sqrt{25} \):

- \( f''(0) = 100 \) (положительное значение) - \( f''(\sqrt{25}) = 100 - 12 \cdot 25 = -200 \) (отрицательное значение) - \( f''(-\sqrt{25}) = 100 - 12 \cdot 25 = -200 \) (отрицательное значение)

5. Проанализируем результаты:

- При \( x = 0 \) вторая производная положительна, что говорит о том, что в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный минимум. - При \( x = \sqrt{25} \) и \( x = -\sqrt{25} \) вторая производная отрицательна, что указывает на наличие локальных максимумов в этих точках.

Таким образом, функция \( f(x) = 50x^2 - x^4 + 13 \) имеет локальный минимум в точке \( x = 0 \) и локальные максимумы в точках \( x = \sqrt{25} \) и \( x = -\sqrt{25} \).