Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое не делится 11, но если заменить любую его цифру на цифру, отличающуюся на 1, то полученное число будет делится на 11. (Замечание. Цифра 0 от 9 отличается на 9).

Answer 1

1. Попробовав различные числа, можно сделать вывод, что число должно состоять из цифр 0 и 9, так как если при изменении какой-то определенной цифры в сторону уменьшения мы получим число, делящееся на 11, то при изменении этой же цифры в сторону увеличения полученное число очевидно на 11 делиться не будет. В случае цифр 0 и 9 они изменяются, только в одну сторону 0->1, 9->8.
2. Рассуждаем дальше.
Существует признак делимости какого-то числа на 11 и он формулируется так: чтобы число делилось на 11, разность
сумм его цифр на четных и на нечетных местах
должна делиться на 11.
3. Объединив обе идеи получаем: чтобы получить наименьшее число, нули и девятки должны чередоваться (две одинаковые цифры подряд в
разности дадут 0, поэтому две цифры подряд - это просто трата цифр) .
Разность указанных в признаке сумм составит: 9n, где n - количество девяток в числе.
Но, по условию задачи, можно изменить одну цифру: 9->8 или 0->1.
Оба эти изменения дадут разность сумм: 9n-1.
Задача: найти такое наименьшее число n, чтобы 9n-1 делилось на 11.
Методом перебора получим: n=5, 9*5-1 = 44 - делится на 11.
Теперь составим число: 909090909. Теперь понятно надеюсь

Answer 2

Давайте рассмотрим условия задачи более подробно. Мы ищем наименьшее натуральное число, которое не делится на 11, но если мы заменим любую его цифру на цифру, отличающуюся на 1 (за исключением 9, так как 0 отличается от 9 на 9), то полученное число будет делиться на 11.

Для нахождения такого числа будем проверять последовательно возможные варианты.

1. Начнем с 1. Это число не делится на 11, и если мы заменим 1 на 2, то получим 2, которое тоже не делится на 11.

2. Продолжим далее. 2 не делится на 11, и если мы заменим 2 на 3, то получим 3, которое также не делится на 11.

3. Продолжая этот процесс, мы придем к числу 10. 10 не делится на 11, и если мы заменим 1 на 2 (поскольку 0 отличается от 9 на 9), то получим 20, которое делится на 11.

Теперь проверим, если мы начнем с числа 11. 11 делится на 11, поэтому это не подходит.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое не делится на 11, но при замене любой его цифры на цифру, отличающуюся на 1, полученное число делится на 11, - это 10.