Question

Радиус круга, вписанного в основание правильной треугольной призмы равен 2√3см. Боковое ребро этой призмы равно 10 см. Вычислить боковую поверхность призмы.

Answer 1

Радиус вписанного круга равен 1/3 от высоты. Значит высота треугольника равна 6√3 см. А сторона треугольника равна высоте треугольника, разделенной на синус 60 градусов, получится 6√3 /(√3/2)= 12 см. Боковая поверхность равна периметру основания (36см), умноженному на боковое ребро( 10 см) . 360 см².

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами правильной треугольной призмы и вписанного в ее основание круга.

Пусть \( r \) - радиус вписанного круга, \( a \) - длина стороны треугольника, \( l \) - боковое ребро призмы.

Известно, что радиус вписанного круга связан с длиной стороны треугольника следующим образом:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Также известно, что боковое ребро призмы связано с длиной стороны треугольника:

\[ l = a \]

Мы знаем, что \( l = 10 \) см. Теперь мы можем выразить \( a \) через \( l \):

\[ a = 10 \]

Теперь можем подставить значение \( a \) в выражение для радиуса \( r \):

\[ r = \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]

Теперь у нас есть значение радиуса \( r \), и мы можем вычислить боковую поверхность призмы. Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту боковой грани:

\[ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h_{\text{бок}} \]

Периметр основания \( P_{\text{осн}} \) равен тройному значению длины стороны треугольника:

\[ P_{\text{осн}} = 3a \]

Высоту боковой грани \( h_{\text{бок}} \) можно выразить через радиус вписанного круга:

\[ h_{\text{бок}} = \sqrt{l^2 - r^2} \]

Теперь мы можем подставить все известные значения:

\[ P_{\text{осн}} = 3 \cdot 10 = 30 \]

\[ h_{\text{бок}} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2} \]

После подстановки значений и вычислений, мы можем найти боковую поверхность призмы:

\[ S_{\text{бок}} = 30 \cdot \sqrt{10^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2} \]

Вычислив это выражение, получим значение боковой поверхности призмы.