Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4/x y=-x+5

Answer 1

y=x^2-4x+5y=x+1∫⁴₁(х+1-х²+4х-5)dx=∫₁⁴(-x²+5x-4)dx=(-x³/3+5x²/2-4x)|₁⁴=(-64/3+40-16)-(-1/3+5/2-4)=-64/3+40-16+1/3-5/2+4=-21-5/2+28=4.5

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 4/x и y = -x + 5, мы должны найти точки пересечения этих двух графиков. Затем мы можем использовать метод интегрирования для расчета площади между этими двумя кривыми.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим y = 4/x в уравнение y = -x + 5:

4/x = -x + 5

Умножим обе части на x, чтобы избавиться от знаменателя:

4 = -x^2 + 5x

Перенесем все в левую часть:

x^2 - 5x + 4 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(x - 1)(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 1 и x = 4. Подставим эти значения обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 1: y = 4/1 = 4

Для x = 4: y = 4/4 = 1

Таким образом, точки пересечения равны (1, 4) и (4, 1).

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры между графиками, мы можем использовать интеграл. Поскольку границы этой фигуры варьируются от x = 1 до x = 4, мы можем записать интеграл следующим образом:

S = ∫[1, 4] (4/x - (-x + 5)) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1, 4] (4/x + x - 5) dx

Интегрируя это выражение, получим:

S = [4ln|x| + (1/2)x^2 - 5x] [1, 4]

Теперь подставим границы интегрирования:

S = (4ln|4| + (1/2)*4^2 - 5*4) - (4ln|1| + (1/2)*1^2 - 5*1)

S = (4ln4 + 8 - 20) - (4ln1 + 1/2 - 5)

Учитывая, что ln1 = 0, упростим это выражение:

S = 4ln4 + 8 - 20 - (-4ln1 - 1/2 + 5)

S = 4ln4 - 4ln1 + 8 - 20 + 1/2 - 5

Упростим еще больше:

S = 4ln4 + 8 - 20 + 1/2 - 5

S = 4ln4 - 17.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4/x и y = -x + 5, составляет 4ln4 - 17.5 квадратных единиц.